Questão 9. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA COMPARAÇÃO)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}};

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}},
usando o teste da comparação. Vamos comparar com uma série de termos constantes que diverge, pois uma vez que os termos da série dada fiquem acima de uma constante positiva, a soma será infinita.

Passo 2

Para n\ge1 temos
\sqrt{n^{2}+1}\;\le\;\sqrt{n^{2}+n^{2}} \;=\;n\sqrt{2}.
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\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}} \;\ge\;\frac{n}{n\sqrt{2}} \;=\;\frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 3

Considere a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2}}.
Como \tfrac{1}{\sqrt{2}} é uma constante positiva, seus termos não tendem a zero e a soma parcial \sum_{k=1}^{N}\tfrac{1}{\sqrt{2}}=N\cdot\tfrac{1}{\sqrt{2}}
vai a +\infty. Portanto essa série diverge.

Passo 4

Temos 0\le \tfrac{1}{\sqrt{2}}\le \tfrac{n}{\sqrt{n^{2}+1}} para todo n. Como \sum 1/\sqrt{2} diverge, pelo teste da comparação a série \sum_{n=1}^{\infty} \tfrac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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