Questão 9. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA COMPARAÇÃO)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n+5}{n 2^{n}};

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+5}{n\,2^{n}}
usando o teste da comparação. Como os termos são positivos, basta encontrar uma série maior (ou igual termo a termo) que seja convergente.

Passo 2

Para n\ge1 vale
n+5\le6n,
logo, dividindo por n\,2^{n}>0, obtemos
0\le\frac{n+5}{n\,2^{n}}\le\frac{6n}{n\,2^{n}}=\frac{6}{2^{n}}.

Passo 3

A série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{6}{2^{n}}
é geométrica de razão r=\tfrac12 (com \lvert r\rvert<1), portanto converge. Pelo teste da comparação, como \tfrac{n+5}{n2^n}\le\tfrac{6}{2^n} e \sum6/2^n converge, conclui-se que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+5}{n\,2^{n}}
também converge.

Resposta

A série converge.

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