Questão 10. Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergenge.(SÉRIES ABSOLUTAMENTE CONVERGENTES)
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{3 n^{2}+4}{2 n^{2}+3 n+5};

Passo 1

O enunciado nos dá a série alternada
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{3n^{2}+4}{2n^{2}+3n+5}
e pede para determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar o teste da divergência (termo geral) e, se necessário, o teste de convergência absoluta.

Passo 2

Verificamos primeiro a condição necessária de convergência: os termos devem tender a zero. Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{3n^{2}+4}{2n^{2}+3n+5} =\lim_{n\to\infty}\frac{3+\tfrac{4}{n^{2}}}{2+\tfrac{3}{n}+\tfrac{5}{n^{2}}} =\frac{3}{2}\neq 0.

Passo 3

Como \lim_{n\to\infty}a_{n}\neq0, a série não pode convergir, nem condicionalmente nem absolutamente. Pelo teste da divergência, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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