Determine a série de Maclaurin para a função f(x)=\cos (x).
(a) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n}}{(2 n)!}
(b) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}
(c) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}
(d) \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} x^{2 n}
Passo 1
O enunciado dá a função f(x)=\cos(x) e pede para determinar a série de Maclaurin (a série de Taylor centrada em zero) correspondente. As alternativas fornecidas são:
(a) \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n}}{(2 n)!}
(b) \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}
(c) \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}
(d) \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} x^{2 n}
O que é pedido: selecionar qual das alternativas é a série de Maclaurin de f(x)=\cos(x).
Passo 2
Vou lembrar a fórmula que usamos para obter a série de Maclaurin. Se f é infinitamente diferenciável em 0, sua série de Maclaurin é
f^{(n)}(0) é a n-ésima derivada de f avaliada em x=0. Para n=0 isso significa f^{(0)}(0)=f(0).
n! (fatorial) é n\times(n-1)\times\cdots\times1 (com 0!=1).
A soma \sum_{n=0}^{\infty} indica que somamos todos os termos a partir de n=0.
Na prova, a ideia prática é: calcule várias derivadas de f, avalie em 0, e use a fórmula acima.
Passo 3
Calculemos as derivadas de \cos(x) e seus valores em 0. As derivadas repetem com período 4:
f(x)=\cos(x) então f(0)=\cos(0)=1.
f'(x)=-\sin(x) então f'(0)=-\sin(0)=0.
f''(x)=-\cos(x) então f''(0)=-\cos(0)=-1.
f^{(3)}(x)=\sin(x) então f^{(3)}(0)=\sin(0)=0.
f^{(4)}(x)=\cos(x) então f^{(4)}(0)=1.
Observe o padrão: as derivadas de ordem ímpar avaliadas em 0 são zero (porque envolvem \sin(0)), e as de ordem par alternam entre 1 e -1. Em fórmula fechada:
f^{(2n)}(0)=(-1)^{n},\qquad f^{(2n+1)}(0)=0.
Isso é importante porque, ao montar a série, só restarão os termos com potências pares de x.
Passo 4
Agora substituímos na fórmula de Maclaurin. Como os termos ímpares têm derivada nula em 0, a soma fica apenas com n par. Reindexando por potências pares (escrevendo o índice como 2n):
Curto comentário sobre as outras alternativas para não ficar dúvida:
A alternativa (b) tem potências ímpares e é, na verdade, a série de Maclaurin de \sin(x).
A alternativa (c) é a série de e^{x}.
A alternativa (d) é uma série geométrica \sum (-1)^n x^{2n}=(1+x^2)^{-1} somente se tivesse denominador apropriado; com os termos dados não coincide com \cos(x) (e também falta os fatoriais).
Passo 6
Breve comentário sobre convergência (útil na prova): a série que obtivemos converge para todo x (é uma série inteira). Um teste rápido por razões:
portanto converge para qualquer x. Na prática, para valores pequenos de x basta os dois primeiros termos 1-\dfrac{x^{2}}{2!} para uma boa aproximação de \cos(x).