( 1.0 pt ) Questāo 10

Determine os valores de x e y sabendo-se que x, y \in \mathbb{Z}-\{1\} e satisfaz a equação x^{2} y^{2}-4 x y=12.
Um

Passo 1

O enunciado pede todos os pares (x,y) com x,y\in\mathbb{Z}\setminus\{1\} que satisfazem
x^{2}y^{2}-4xy=12.
Para resolver, note que podemos tomar t=xy e reduzir a uma equação quadrática em t.

Passo 2

Substituindo t=xy na equação original, temos
(xy)^{2}-4(xy)=12
isto é,
t^{2}-4t-12=0.

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática
t^{2}-4t-12=0
usamos a fórmula de Bhaskara:
t=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^{2}-4\cdot1\cdot(-12)}}{2} =\frac{4\pm\sqrt{16+48}}{2} =\frac{4\pm8}{2}.
Logo as raízes são
t=6 \quad\text{ou}\quad t=-2.

Passo 4

Isso significa que devemos encontrar todos os pares inteiros (x,y) tais que
xy=6 \quad\text{ou}\quad xy=-2,
sob a condição adicional x\neq1 e y\neq1.

Passo 5

As soluções inteiras de xy=6 são (1,6), (2,3), (3,2), (6,1), (-1,-6), (-2,-3), (-3,-2), (-6,-1).
As soluções inteiras de xy=-2 são (1,-2), (-1,2), (2,-1), (-2,1).

Passo 6

Como x e y não podem ser iguais a 1, eliminamos todos os pares que contenham 1. Restam então:
Para xy=6: (2,3), (3,2), (-1,-6), (-2,-3), (-3,-2), (-6,-1).
Para xy=-2: (-1,2), (2,-1).

Resposta

As soluções em \mathbb{Z}\setminus\{1\} são
(2,3),\;(3,2),\;(-1,-6),\;(-2,-3),\;(-3,-2),\;(-6,-1),\;(-1,2),\;(2,-1).

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