2^{\underline{\mathrm{a}}} Questão: Determine, caso existam, os seguintes limites:
(10 \mathrm{pts}) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2-2 \cos x}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x \to 0} \frac{2 - 2\cos x}{x^2}.
O conteúdo envolve limites de funções trigonométricas; para resolver, vamos usar a identidade trigonométrica para 1 - \cos x e o limite clássico \lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1.

Passo 2

Usamos a identidade
1 - \cos x = 2\,\sin^2\!\bigl(\tfrac x2\bigr).
Multiplicando por 2, obtemos
2 - 2\cos x = 2\,(1 - \cos x) = 4\,\sin^2\!\bigl(\tfrac x2\bigr).

Passo 3

Substituindo no quociente, dá
\frac{2-2\cos x}{x^2} = \frac{4\,\sin^2\!\bigl(\tfrac x2\bigr)}{x^2} =4\;\frac{\sin^2\!\bigl(\tfrac x2\bigr)}{x^2}.
Agora reescrevemos
\frac{\sin^2\!\bigl(\tfrac x2\bigr)}{x^2} =\left(\frac{\sin\!\bigl(\tfrac x2\bigr)}{\tfrac x2}\right)^2\!\cdot\frac{\bigl(\tfrac x2\bigr)^2}{x^2} =\left(\frac{\sin\!\bigl(\tfrac x2\bigr)}{\tfrac x2}\right)^2\!\cdot\frac14.
Logo,
\frac{2-2\cos x}{x^2} =4\cdot\frac14\;\left(\frac{\sin\!\bigl(\tfrac x2\bigr)}{\tfrac x2}\right)^2 =\left(\frac{\sin\!\bigl(\tfrac x2\bigr)}{\tfrac x2}\right)^2.

Passo 4

Como \displaystyle\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1, tomando u=\tfrac x2 temos
\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin\!\bigl(\tfrac x2\bigr)}{\tfrac x2}\right)^2 =1^2=1.

Resposta

1

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