(1.0 pt)Questāo 9

professor dispunha de 144 doces para dividir igualmente entre os alunos de sua classe. Como no dia da distribuiçāo faltaram 12 alunos, ele dividiu os 144 doces igualmente entre os presentes, cabendo a cada aluno um doce a mais. Quantos alunos estavam presentes no dia da distribuiçāo?

Passo 1

O enunciado diz que o professor tinha 144 doces para repartir igualmente entre todos os n alunos de sua classe, mas no dia faltaram 12 alunos. Assim, ele distribuiu esses 144 doces entre os n-12 presentes, e cada um recebeu exatamente um doce a mais do que receberia se todos estivessem lá. Vamos resolver isso montando uma equação algébrica que relacione n e o número de presentes n-12.

Passo 2

Definimos:
n = número total de alunos da classe.
n-12 = número de alunos presentes.
Se todos estivessem, cada um receberia \tfrac{144}{n} doces. Como faltaram 12, cada um dos presentes recebeu
\frac{144}{n-12}
doces, e esse valor é 1 a mais que \tfrac{144}{n}. Logo,
\frac{144}{n-12} \;=\;\frac{144}{n}+1.

Passo 3

Para resolver a equação, multiplicamos ambos os lados por n(n-12):
144\,n = (144 + n)\,(n - 12).
Expandindo o produto do lado direito:
144n = n^2 +144n -12n -1728 = n^2 +132n -1728.
Passamos tudo para um lado para obter um quadrático:
0 = n^2 +132n -1728 -144n \quad\Longrightarrow\quad 0 = n^2 -12n -1728.
Calculamos o discriminante:
\Delta = (-12)^2 -4\cdot1\cdot(-1728) = 144 +6912 = 7056,
\sqrt{\Delta} = 84.
As raízes são
n = \frac{12 \pm 84}{2} \;\Longrightarrow\; n = \frac{12 + 84}{2} = 48 \quad\text{ou}\quad n = \frac{12 - 84}{2} = -36.
Descartamos a solução negativa, restando n=48 alunos no total.

Passo 4

O número de alunos presentes foi
n - 12 = 48 - 12 = 36.

Resposta

36

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