2^{\underline{\mathrm{a}}} Questão: Determine, caso existam, os seguintes limites:
(10 \mathrm{pts}) \lim _{x \rightarrow 2^{+}}\left[\sqrt{x-2} \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x-2}\right)+e^{(x-2)}\right]

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to2^+}\bigl[\sqrt{x-2}\,\sin\bigl(\tfrac{1}{x-2}\bigr)+e^{\,x-2}\bigr].
O conteúdo necessário envolve mudança de variável, o Teorema do Confronto (ou “Squeeze Theorem”) para tratar da parte oscilante \sqrt{x-2}\sin(1/(x-2)) e a continuidade da função exponencial para e^{\,x-2}.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
t = x - 2,
de modo que x\to2^+ equivale a t\to0^+. A expressão fica
\sqrt{x-2}\,\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x-2}\bigr)+e^{\,x-2} =\sqrt{t}\,\sin\!\bigl(\tfrac{1}{t}\bigr)+e^{\,t}.

Passo 3

Analisamos o primeiro termo \sqrt{t}\,\sin(1/t). Sabemos que para todo t>0 vale
-1 \le \sin\!\bigl(\tfrac{1}{t}\bigr)\le 1
e, multiplicando por \sqrt{t}\ge0, obtemos
-\sqrt{t}\le \sqrt{t}\,\sin\!\bigl(\tfrac{1}{t}\bigr)\le \sqrt{t}.

Passo 4

Como \lim_{t\to0^+}\sqrt{t}=0, pelo Teorema do Confronto deduzimos
\lim_{t\to0^+}\sqrt{t}\,\sin\!\bigl(\tfrac{1}{t}\bigr)=0.

Passo 5

Para o segundo termo, a exponencial é contínua, logo
\lim_{t\to0^+}e^{\,t}=e^0=1.

Passo 6

Finalmente, aplicando a soma de limites, temos
\lim_{t\to0^+}\bigl[\sqrt{t}\,\sin\!\bigl(\tfrac{1}{t}\bigr)+e^{\,t}\bigr] =0+1=1.

Resposta

1

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