Questão 10. O dono de uma cadeia de lanchonetes determina que, se x mil unidades de um novo sanduíche forem vendidas por dia, o preço marginal para esse nível de oferta será
p^prime(x)=x(x+3)^2 reais
em que p(x) é o preço do sanduíche em reais. No momento, 5000 sanduíches estão sendo vendidos por dia a um preço de R .
a) Determine a função a) Determine a função .
b) Se 10000 sanduíches são fornecidos diariamente às lanchonetes da cadeia, que preço deve ser cobrado para que todos os sanduíches sejam vendidos?

Passo 1

O enunciado dá a derivada da função preço p'(x)=x(x+3)^2, com x em milhares de unidades. Para achar o preço p(x), precisamos integrar essa derivada e usar a condição p(5)=2,20. Em seguida, usaremos esse p(x) para calcular o preço quando x=10.

Passo 2

Para encontrar p(x), fazemos a antiderivada de p'(x). Montamos a integral:
[ integral x(x+3)^2,dx ]
Com u=x+3 temos x=u-3 e du=dx. A integral vira:
[ integral u-3u^2,du = integral l(tfrac1u - tfrac3u^2r),du = ln u + tfrac3u + C ]
Voltando a x, obtemos
[ p(x)=ln(x+3) + tfrac3x+3 + C ]

Passo 3

Usamos a condição inicial p(5)=2,20. Substituindo x=5 em p(x):
[ 2,20 = ln(5+3) + tfrac35+3 + C = ln 8 + tfrac38 + C ]
Logo,
[ C = 2,20 - ln 8 - tfrac38 ]
Então a função é
[ p(x)=ln(x+3) + tfrac3x+3 + 2,20 - ln 8 - tfrac38 ]

Passo 4

Para x=10 (10000 sanduíches) calculamos
[ p(10)=ln(13) + tfrac313 + 2,20 - ln 8 - tfrac38 approx 2,54 ]
Esse é o preço em reais para que todos os 10000 sanduíches sejam vendidos.

Resposta

a) p(x)=ln(x+3)+tfrac3x+3+2,20-ln8-tfrac38. b) Para x=10, p(10)approx2,54 reais.

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