Questão 9. Uma empresa calcula que a receita marginal com a venda de x unidades de um produto é R^prime(x)=x(5-x)^3 centenas de reais por unidade, enquanto o custo marginal correspondente é C^prime(x)=5+2 x centenas de reais por unidade. Qual é a variação do lucro quando o nível de produção aumenta de uma para cinco unidades?

Passo 1

O enunciado nos dá a receita marginal R'(x)=x(5-x)^3 e o custo marginal C'(x)=5+2x (ambas em centenas de reais por unidade). Queremos saber como varia o lucro quando a produção passa de 1 para 5 unidades, ou seja, calcular a integral da diferença entre receita e custo marginais.

Passo 2

A variação do lucro De é dada por
De

Passo 3

Vamos separar em duas integrais:
I1=integral1^5x(5-x)^3,dx, I2=integral1^5(5+2x),dx

Passo 4

Para I1, faça a substituição u=5-x, du=-dx, e quando x=1, u=4; quando x=5, u=0:
I1=integral4^0(5-u)u^3(-du)=integral0^4(5u^3-u^4),du=l[5u^44-u^55r]0^4=5765=115.2

Passo 5

Para I2:
I2=integral1^5(5+2x),dx=l[5x+x^2r]1^5=50-6=44

Passo 6

Logo,
De
Em reais isso equivale a um aumento de 71.2times100=7120 reais.

Resposta

A variação do lucro é um aumento de 71,2 centenas de reais, ou seja R$ 7120,00.

Exercícios relacionados