Questão 11. A taxa de variação do preço p (em reais) de um produto é dada por
d pd x=-135 xraiz9+x^2
em que x é a demanda do produto (número de unidades vendidas) em centenas de unidades. Suponha que a demanda seja de 400 unidades (x=4) para um preço de R .
a) Determine a função demanda a) Determine a função demanda .
b) Para que preço a demanda é de 300 unidades? Para que preço a demanda é zero?
c) Qual é a demanda para um preço de b) Para que preço a demanda é de 300 unidades? Para que preço a demanda é zero? c) Qual é a demanda para um preço de ?

Passo 1

Resumo do enunciado: A taxa de variação do preço é dada por dpdx=-135,xraiz9+x^2 e sabemos que p(4)=30 (isto é, para 400 unidades o preço é R$30). Vamos usar cálculo de integrais para achar a função demanda 30) Vamos usar cálculo de integrais para achar a função demanda e depois resolver as perguntas.

Passo 2

Para encontrar p(x), integramos ambos os lados:
integral dpdx,dx = integral -135xraiz9+x^2,dx
Usamos substituição u=9+x^2, logo du=2x,dx.

Passo 3

Aplicando a substituição, obtemos:
integral -135xraiz9+x^2,dx = -135integral xraizu,dx = -135integral 12u^-1/2,du = -135raizu + C
Voltando a x:
p(x) = -135raiz9+x^2 + C

Passo 4

Determinamos a constante C usando p(4)=30:
30 = -135raiz9+4^2 + C = -135cdot5 + C = -675 + C
Logo C=705 e
boxedp(x)=705 - 135raiz9+x^2

Passo 5

Para a demanda de 300 unidades, x=3:
p(3)=705 - 135raiz9+3^2=705 - 135raiz18approx132,07
Para achar quando p(x)=0, resolvemos:
705 - 135raiz9+x^2=0 implies raiz9+x^2=705135=479
x=raiz47^29^2-9=2raiz3709approx4,27(427,unidades)

Passo 6

Para p(x)=20, resolvemos:
705 - 135raiz9+x^2=20 implies raiz9+x^2=685135=13727
[
x=\sqrt{\frac{1372}{272}-9}=\frac{4\sqrt{763}}{27}\approx4{,}09\quad(409,unidades).

Resposta

a) p(x)=705 - 135raiz9+x^2
b) Para 300 unidades (x=3): p(3)=705 - 135raiz18approx132,07.
Para p(x)=0: x=2raiz3709approx4,27 (427 unidades).
c) Para p(x)=20: x=4raiz76327approx4,09 (409 unidades).

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