Questão 8. A taxa de variação da quantidade vendida V de um produto em relação aos gastos com propaganda x é:
V^prime(x)=205+x
Sabendo-se que, quando x=100, V=80, obtenha V em função de x. Dado: ln 105 cong 4,65.

Passo 1

Estamos com a taxa de variação de V em relação a x dada por V′(x)=20/(5+x) e sabemos que V(100)=80. O conteúdo é integração de derivada para obter V(x) e uso de condição inicial para achar a constante de integração.

Passo 2

Para encontrar V(x), integramos V′(x). Ou seja:
integral V'(x),dx=integral 205+x,dx =20ln|5+x|+C
Assim, a solução geral é V(x)=20\ln(5+x)+C.

Passo 3

Usamos a condição inicial V(100)=80 para determinar C. Substituindo:
80 =20ln(105)+C
Logo C=80−20\ln(105).
Dado que ln 105approx4,65, temos C=80−20\times4,65=80−93=−13.

Passo 4

Portanto, a função desejada é V(x)=20\ln(5+x)−13.

Resposta

V(x)=20ln(5+x)-13

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