Questão 8. A taxa de variação da quantidade vendida
de um produto em relação aos gastos com propaganda
é:
Sabendo-se que, quando
, obtenha
em função de
. Dado:
.
Passo 1
Estamos com a taxa de variação de V em relação a x dada por V′(x)=20/(5+x) e sabemos que V(100)=80. O conteúdo é integração de derivada para obter V(x) e uso de condição inicial para achar a constante de integração.
Passo 2
Para encontrar V(x), integramos V′(x). Ou seja:
Assim, a solução geral é V(x)=20\ln(5+x)+C.
Passo 3
Usamos a condição inicial V(100)=80 para determinar C. Substituindo:
Logo C=80−20\ln(105).
Dado que , temos C=80−20\times4,65=80−93=−13.
Dado que
Passo 4
Portanto, a função desejada é V(x)=20\ln(5+x)−13.