Questão 10: Encontre as bases e as dimensões para cada um dos quatro espaços fundamentais associados às matrizes e : .
Passo 1
O enunciado pede as bases e dimensões dos quatro espaços fundamentais (coluna, linha, núcleo e núcleo à esquerda) da matriz A. Para começar, vamos calcular o posto de A e sua forma escalonada reduzida por linhas (RREF).
Passo 2
Aplicando operações de linha em
subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda. Obtemos a RREF
Logo, o posto de A é 1.
Passo 3
A coluna-pivô é a primeira. Assim, uma base do espaço coluna é formada pela primeira coluna original de A, isto é,
base do espaço coluna: {(1,2)^T}, dimensão 1.
Passo 4
A base do espaço linha é dada pela linha não nula da RREF, isto é,
base do espaço linha: {(1,2,4)}, dimensão 1.
Passo 5
Para o núcleo, resolvemos . Da equação temos . Definindo e , o vetor geral é . Então uma base do núcleo é {(-2,1,0),,(-4,0,1)}, dimensão 2.
Passo 6
Para o núcleo à esquerda, resolvemos . Temos sistema
que reduz a y1=-2y2. Com parâmetro y2=t, obtém-se y=t(-2,1). Portanto a base do núcleo à esquerda é {(-2,1)}, dimensão 1.
Resposta
Espaço coluna: base = {(1,2)^T}, dimensão 1.
Espaço linha: base = {(1,2,4)}, dimensão 1.
Núcleo: base = {(-2,1,0),,(-4,0,1)}, dimensão 2.
Núcleo à esquerda: base = {(-2,1)}, dimensão 1.