Questão 10: Encontre as bases e as dimensões para cada um dos quatro espaços fundamentais associados às matrizes A e B :
lll1 & 2 & 4 2 & 4 & 8.

Passo 1

O enunciado pede as bases e dimensões dos quatro espaços fundamentais (coluna, linha, núcleo e núcleo à esquerda) da matriz A. Para começar, vamos calcular o posto de A e sua forma escalonada reduzida por linhas (RREF).

Passo 2

Aplicando operações de linha em
A=1 & 2 & 4 2 & 4 & 8
subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda. Obtemos a RREF
1 & 2 & 4 0 & 0 & 0
Logo, o posto de A é 1.

Passo 3

A coluna-pivô é a primeira. Assim, uma base do espaço coluna é formada pela primeira coluna original de A, isto é,
base do espaço coluna: {(1,2)^T}, dimensão 1.

Passo 4

A base do espaço linha é dada pela linha não nula da RREF, isto é,
base do espaço linha: {(1,2,4)}, dimensão 1.

Passo 5

Para o núcleo, resolvemos Ax=0. Da equação x1+2x2+4x3=0 temos x1=-2x2-4x3. Definindo x2=s e x3=t, o vetor geral é x = s(-2,1,0)+t(-4,0,1). Então uma base do núcleo é {(-2,1,0),,(-4,0,1)}, dimensão 2.

Passo 6

Para o núcleo à esquerda, resolvemos A^T y=0. Temos sistema
y1+2y2=0 2y1+4y2=0 4y1+8y2=0
que reduz a y1=-2y2. Com parâmetro y2=t, obtém-se y=t(-2,1). Portanto a base do núcleo à esquerda é {(-2,1)}, dimensão 1.

Resposta

Espaço coluna: base = {(1,2)^T}, dimensão 1.
Espaço linha: base = {(1,2,4)}, dimensão 1.
Núcleo: base = {(-2,1,0),,(-4,0,1)}, dimensão 2.
Núcleo à esquerda: base = {(-2,1)}, dimensão 1.

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