Verifique se as transformações abaixo são lineares:

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação TcolonR^2toR^3, definida por
T(x1,x2) = (13x1 + 4x2,;x1 - 3x2 + 1,;x1 - x2), é uma transformação linear. Para isso usamos a definição: T é linear se e somente se satisfaz aditividade ( T(u+v)=T(u)+T(v)) e homogeneidade ( T(cu)=c,T(u)) para todos os vetores e escalares, e uma forma mais rápida de detectar falha é verificar se T(0)=0.

Passo 2

Vamos calcular T(0,0) para checar se o vetor zero é preservado:

Passo 3

T(0,0) = (13cdot0 + 4cdot0,;0 - 3cdot0 + 1,;0 - 0) = (0,;1,;0)

Passo 4

Como T(0,0) = (0,1,0) neq (0,0,0), concluímos que T não leva o vetor zero ao vetor zero do contradomínio, o que viola uma condição necessária para linearidade.

Resposta

A transformação não é linear, pois não preserva o vetor zero ( T(0,0) neq (0,0,0)).

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