Questão 09: As colunas de
são
vetores pertencentes à
. Se estes vetores são linearmente independentes, qual é o rank de A? Se estes vetores geram
qual o rank de
? Se estes vetores que geram
são base para
, qual a relação entre
e rank de
?
Solução:
. Para gerar
tem que ser igual a
. Dada as relações descritas, A é uma matriz quadrada, onde
Passo 1
O enunciado diz que a matriz A tem n colunas em
e pede: 1) o rank de A se as colunas forem linearmente independentes; 2) o rank de A se as colunas gerarem
; 3) a relação entre
e
quando essas colunas formarem uma base de
. O conteúdo necessário é a definição de posto (rank) como a dimensão do espaço gerado pelas colunas, além dos conceitos de independência linear e geração (span).
Passo 2
Como o posto de A é a dimensão do espaço coluna de A e vetores linearmente independentes em
formam um conjunto de dimensão igual ao número de vetores, temos
quando as n colunas são independentes.
Passo 3
Se as colunas de A geram
, o espaço coluna de A é todo
, logo sua dimensão é m. Assim
.
Passo 4
Quando as colunas de A geram
e ainda são independentes, elas formam uma base de
. Nesse caso o número de vetores na base é igual à dimensão do espaço, ou seja,
. Como o posto de A é tanto n (pela independência) quanto m (pela geração), concluímos que
.
Resposta
rank(A)=n quando as colunas são independentes; rank(A)=m quando elas geram
; e se formam base então m=n=rank(A).