Questão 09: As colunas de A são n vetores pertencentes à R^m. Se estes vetores são linearmente independentes, qual é o rank de A? Se estes vetores geram R^m qual o rank de A ? Se estes vetores que geram R^m são base para R^m, qual a relação entre m, n e rank de A ?
Solução: Rank(A)=n. Para gerar R^m, rank(A) tem que ser igual a m. Dada as relações descritas, A é uma matriz quadrada, onde m=n=rank(A)

Passo 1

O enunciado diz que a matriz A tem n colunas em R^m e pede: 1) o rank de A se as colunas forem linearmente independentes; 2) o rank de A se as colunas gerarem R^m; 3) a relação entre m,n e rank(A) quando essas colunas formarem uma base de R^m. O conteúdo necessário é a definição de posto (rank) como a dimensão do espaço gerado pelas colunas, além dos conceitos de independência linear e geração (span).

Passo 2

Como o posto de A é a dimensão do espaço coluna de A e vetores linearmente independentes em R^m formam um conjunto de dimensão igual ao número de vetores, temos rank(A)=n quando as n colunas são independentes.

Passo 3

Se as colunas de A geram R^m, o espaço coluna de A é todo R^m, logo sua dimensão é m. Assim rank(A)=m.

Passo 4

Quando as colunas de A geram R^m e ainda são independentes, elas formam uma base de R^m. Nesse caso o número de vetores na base é igual à dimensão do espaço, ou seja, n=m. Como o posto de A é tanto n (pela independência) quanto m (pela geração), concluímos que m=n=rank(A).

Resposta

rank(A)=n quando as colunas são independentes; rank(A)=m quando elas geram R^m; e se formam base então m=n=rank(A).

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