Verifique se as transformações abaixo são lineares:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a transformação linear T: ℝ²→ℝ² dada por T(x₁,x₂)=(3x₁−5x₂, x₁+x₂) satisfaz as propriedades de linearidade (adição e homogeneidade).
Passo 2
Verificamos a aditividade: sejam u=(u₁,u₂) e v=(v₁,v₂). Então u+v=(u₁+v₁, u₂+v₂) e
Distribuindo, temos
Passo 3
Verificamos a homogeneidade: seja c∈ℝ e u=(u₁,u₂). Então cu=(cu₁,cu₂) e
Passo 4
Como T satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que T é linear.
Resposta
T é uma transformação linear.