Verifique se as transformações abaixo são lineares:

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação linear T: ℝ²→ℝ² dada por T(x₁,x₂)=(3x₁−5x₂, x₁+x₂) satisfaz as propriedades de linearidade (adição e homogeneidade).

Passo 2

Verificamos a aditividade: sejam u=(u₁,u₂) e v=(v₁,v₂). Então u+v=(u₁+v₁, u₂+v₂) e
T(u+v)=l(3(u₁+v₁)−5(u₂+v₂), (u₁+v₁)+(u₂+v₂)r)
Distribuindo, temos
T(u+v)=l(3u₁−5u₂,u₁+u₂r)+l(3v₁−5v₂,v₁+v₂r)=T(u)+T(v)

Passo 3

Verificamos a homogeneidade: seja c∈ℝ e u=(u₁,u₂). Então cu=(cu₁,cu₂) e
T(cu)=l(3(cu₁)−5(cu₂), (cu₁)+(cu₂)r)=cl(3u₁−5u₂,u₁+u₂r)=cT(u)

Passo 4

Como T satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que T é linear.

Resposta

T é uma transformação linear.

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