Questão 11

Uma massa de 3 kg oscila presa a uma mola de constante \mathrm{k}=75.0 \mathrm{~N} / \mathrm{m} com um período de \pi / 2 \mathrm{~s}.
(a) Esse sistema é: amortecido ou não amortecido?
(b) A frequência angular de oscilação do sistema é?
(c) A constante de amortecimento viscoso é?
(d) Sobre o sistema é ainda possível afirmar que ele está em qual regime?

Passo 1

O enunciado dá uma massa m=3,kg presa a uma mola de constante k=75{,}0,N/m, e informa que o período observado é
T=\frac{\pi}{2}\text{ s}.
Pergunta-se:
(a) se o sistema é amortecido ou não;
(b) a frequência angular de oscilação;
(c) a constante de amortecimento viscoso;
(d) em que regime de amortecimento o sistema se encontra.

Passo 2

Primeiro calculamos o período natural (não amortecido)
T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} =2\pi\sqrt{\frac{3}{75}} =2\pi\sqrt{0,04} =0,4\pi\approx1,257\text{ s}.
Como o período observado T=\pi/2\approx1,571 s é maior que T_0, há efeito de amortecimento. Logo, o sistema é amortecido.

Passo 3

A frequência angular de oscilação amortecida é
\omega_d = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi/2} =4\text{ rad/s}.

Passo 4

A frequência angular natural vale
\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} =\sqrt{\frac{75}{3}} =5\text{ rad/s}.
O coeficiente de amortecimento adimensional é
\beta = \sqrt{\omega_0^2 - \omega_d^2} =\sqrt{5^2-4^2} =3\text{ s}^{-1}.
A constante de amortecimento viscoso c satisfaz c=2m\beta, logo
c = 2\cdot3\cdot3 = 18\text{ kg/s}.

Passo 5

Como \beta=3<\omega_0=5, o sistema está em regime subamortecido (underdamped).

Resposta

(a) Amortecido.
(b) \omega_d=4,rad/s.
(c) c=18,kg/s.
(d) Regime subamortecido.

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