Questão 10. Faça o gráfico das funções abaixo, utilizando todos os procedimentos de um estudo de funções (7 passos).
f(x)=\frac{2 x}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para fazer o gráfico da função f e realizar todos os procedimentos de um estudo de funções em 7 passos. A função dada é
f(x)=\frac{2x}{x^{2}+1}.
Informações que temos (retiradas do enunciado): a função está explicitamente dada por uma razão entre um polinômio de grau 1 no numerador e um polinômio de grau 2 no denominador. O que vamos procurar ao longo dos passos: domínio, zeros e interceptos, simetria, limites e assíntotas, derivada primeira (monotonicidade e extremos), derivada segunda (concavidade e pontos de inflexão) e, por fim, um esboço do gráfico usando os pontos e informações obtidas.

Passo 2

Domínio, zeros, interceptos e simetria — primeiro passo prático do estudo.
  • Domínio: o denominador x^{2}+1 nunca é zero para nenhum x\in\mathbb{R}, pois x^{2}+1\ge1. Portanto o domínio é todo o conjunto dos reais:
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}.
  • Zeros e intercepto com o eixo x: zeros ocorrem quando o numerador é zero (desde que o denominador seja finito), ou seja quando 2x=0\Rightarrow x=0. Logo o único zero é x=0.
  • Intercepto com o eixo y: é f(0). Calculando,
f(0)=\frac{2\cdot 0}{0^{2}+1}=0.
Portanto o gráfico passa na origem (0,0).
  • Simetria: calcule f(-x):
f(-x)=\frac{2(-x)}{(-x)^{2}+1}=\frac{-2x}{x^{2}+1}=-f(x).
Como f(-x)=-f(x) para todo x, a função é ímpar. Interpretação prática: o gráfico é simétrico em relação à origem — o ramo negativo é o simétrico do ramo positivo por rotação de 180^\circ.
Observação: por causa da simetria ímpar, basta estudar geralmente x\ge0 e refletir para x<0.

Passo 3

Limites e assíntotas horizontais/verticais e comportamento para grandes valores de |x|.
  • Limite quando x\to\infty e x\to-\infty. Para grandes |x|, o termo dominante no denominador é x^{2}, então
f(x)=\frac{2x}{x^{2}+1}=\frac{2x}{x^{2}\left(1+\dfrac{1}{x^{2}}\right)}=\frac{2}{x}\cdot\frac{1}{1+\dfrac{1}{x^{2}}}.
Logo, quando x\to\infty,
\lim_{x\to\infty}f(x)=0,
e quando x\to-\infty,
\lim_{x\to-\infty}f(x)=0.
Portanto existe uma assíntota horizontal y=0. Observação: como f(0)=0, a assíntota horizontal é cruzada pelo gráfico na origem — isso é perfeitamente possível.
  • Assíntotas verticais: para existir assíntota vertical precisaríamos denominador nulo em algum x (ou comportamento de divisão por zero). Como x^{2}+1\neq0 para todo x, não há assíntota vertical.
  • Sinal para grandes x: para x>0 o numerador é positivo então f(x)>0; para x<0 tem f(x)<0. Assim, ao aproximar-se de +\infty o gráfico tende a 0 por cima; ao aproximar-se de -\infty tende a 0 por baixo.

Passo 4

Derivada primeira — cálculo detalhado (regra do quociente) e análise de monotonicidade e extremos.
Mini-aula rápida: a regra do quociente diz que para g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com v(x)\neq0,
g'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^{2}}.
Aqui u(x)=2x e v(x)=x^{2}+1. Então u'(x)=2 e v'(x)=2x. Aplicando a regra:
\begin{aligned} f'(x) &=\frac{2\,(x^{2}+1)-2x\cdot(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}\\[4pt] &=\frac{2x^{2}+2-4x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}\\[4pt] &=\frac{2-2x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}\\[4pt] &=\frac{2(1-x^{2})}{(x^{2}+1)^{2}}. \end{aligned}
Análise do sinal de f'(x): o denominador (x^{2}+1)^{2} é sempre positivo. Assim o sinal de f' é dado pelo numerador 2(1-x^{2}).
  • f'(x)>0 quando 1-x^{2}>0, isto é para |x|<1.
  • f'(x)=0 quando x=\pm 1.
  • f'(x)<0 quando |x|>1.
Conclusões (monotonicidade e extremos):
  • f é crescente em (-1,1).
  • f é decrescente em (-\infty,-1) e em (1,\infty).
  • Em x=-1 temos um mínimo local e em x=1 um máximo local (pela mudança de sinal de f'): f(1)=\frac{2\cdot1}{1^{2}+1}=\frac{2}{2}=1, \qquad f(-1)=-1.
Por simetria ímpar, faz sentido que o máximo local seja (1,1) e o mínimo (-1,-1).]

Passo 5

Derivada segunda — concavidade e pontos de inflexão (cálculo detalhado).
Queremos f''(x). Partimos de f'(x)=\dfrac{2(1-x^{2})}{(x^{2}+1)^{2}}. Vou derivar explicitamente (produto/quotient novamente). Usando cálculo direto (derivando numerador N(x)=2-2x^{2} e denominador D(x)=(x^{2}+1)^{2}):
  • N'(x)=-4x.
  • D'(x)=2(x^{2}+1)\cdot 2x=4x(x^{2}+1).
Aplicando a regra do quociente:
\begin{aligned} f''(x) &=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{D(x)^{2}}\\[4pt] &=\frac{-4x(x^{2}+1)^{2}-(2-2x^{2})\cdot 4x(x^{2}+1)}{(x^{2}+1)^{4}}\\[4pt] &=\frac{-4x(x^{2}+1)\big[(x^{2}+1)+(2-2x^{2})\big]}{(x^{2}+1)^{4}}\\[4pt] &=\frac{-4x(x^{2}+1)(-x^{2}+3)}{(x^{2}+1)^{4}}\\[4pt] &=\frac{4x(x^{2}-3)}{(x^{2}+1)^{3}}. \end{aligned}
Portanto,
f''(x)=\frac{4x(x^{2}-3)}{(x^{2}+1)^{3}}.
Análise do sinal de f''(x): o denominador é sempre positivo. Assim o sinal depende do numerador 4x(x^{2}-3).
  • Zeros de f'': quando x=0 ou x^{2}=3\Rightarrow x=\pm\sqrt{3}.
  • Sinal por intervalos:
    • Para x<-\sqrt{3}: x<0 e x^{2}-3>0 → produto <0 f''<0 (concavidade para baixo).
    • Para -\sqrt{3}<x<0: x<0 e x^{2}-3<0 → produto >0 f''>0 (concavidade para cima).
    • Para 0<x<\sqrt{3}: x>0 e x^{2}-3<0 → produto <0 f''<0 (concavidade para baixo).
    • Para x>\sqrt{3}: x>0 e x^{2}-3>0 → produto >0 f''>0 (concavidade para cima).
Portanto os pontos x=-\sqrt{3},\,0,\,\sqrt{3} são candidatos a pontos de inflexão (mudança de concavidade). Verificando que ocorre mudança de sinal em cada ponto, confirmamos que são pontos de inflexão.
Valores da função nestes pontos:
f(\pm\sqrt{3})=\frac{2(\pm\sqrt{3})}{(\sqrt{3})^{2}+1}=\pm\frac{2\sqrt{3}}{3+1}=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\approx\pm 0,866.
E f(0)=0 (já calculado). Assim os pontos de inflexão são \big(-\sqrt{3},-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big),\\ (0,0),\\ \big(\sqrt{3},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big).]

Passo 6

Resumo das características principais (tudo pronto para desenhar):
  • Domínio: \mathbb{R}.
  • Zeros / interceptos: (0,0).
  • Simetria: função ímpar (simetria em relação à origem).
  • Assíntota horizontal: y=0 (o gráfico tende a 0 quando x\to\pm\infty). Sem assíntotas verticais.
  • Crescimento/decrescimento:
    • Crescente em (-1,1).
    • Decrescente em (-\infty,-1) e em (1,\infty).
  • Extremos locais:
    • Mínimo local em (-1,-1).
    • Máximo local em (1,1).
  • Concavidade:
    • Concava para baixo em (-\infty,-\sqrt{3}) e em (0,\sqrt{3}).
    • Concava para cima em (-\sqrt{3},0) e em (\sqrt{3},\infty).
  • Pontos de inflexão: \big(-\sqrt{3},-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big),\\ (0,0),\\ \big(\sqrt{3},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big).
  • Alguns pontos úteis para esboço (valores exatos e aproximados):
    • f(-2)=\dfrac{-4}{5}=-0,8.
    • f(-1)=-1.
    • f\big(-\sqrt{3}\big)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx-0,866.
    • f(0)=0.
    • f(1)=1.
    • f(2)=\dfrac{4}{5}=0,8.
    • f\big(\sqrt{3}\big)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0,866.
Dica prática para desenhar: trace os eixos; marque os pontos (-1,-1),(0,0),(1,1) e os pontos de inflexão (\pm\sqrt{3},\pm\sqrt{3}/2); desenhe o ramo para x>0 começando perto de 0 subindo até o máximo em x=1, depois descendo suave cruzando os pontos de inflexão e aproximando-se de y=0 por cima quando x\to\infty. Reflita por rotação de 180^\circ para obter o ramo para x<0. A curva é suave, sem cantos, e cruza o eixo y em 0.

Passo 7

Interpretação final e como desenhar em prova (passo a passo prático e rápido):
  1. Marque eixo e plano cartesiano.
  2. Coloque o ponto central (0,0).
  3. Desenhe pontos-chave: (-1,-1), (1,1), (-\sqrt{3},-{\sqrt{3}}/2), (\sqrt{3},{\sqrt{3}}/2), e mais alguns como (2,0,8), (-2,-0,8).
  4. Use o fato de monotonicidade: subir de -1 a 1, descer antes e depois; e concavidade para ajustar a curvatura entre os pontos de inflexão.
  5. Acrescente a assíntota horizontal y=0 (linha tracejada) indicando que as caudas se aproximam de zero.
  6. Verifique simetria: tudo que fizer para x>0 reflita pela origem para x<0.
  7. Trace uma curva suave que passe por esses pontos obedecendo concavidades e extremos — pronto, tem-se um esboço fiel do gráfico.
Força aí — com esses pontos e propriedades você consegue esboçar o gráfico rapidamente na prova: lembra que o pic do gráfico é em (1,1), o vale em (-1,-1), e as caudas vão para y=0.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Intercepto/zero: (0,0)
Simetria: ímpar (simetria em relação à origem)
Assíntota horizontal: y=0; sem assíntotas verticais
Crescimento/decrescimento: crescente em (-1,1); decrescente em (-\infty,-1) e (1,\infty)
Extremos: mínimo local em (-1,-1); máximo local em (1,1)
Concavidade e pontos de inflexão: concavidade muda em x=-\sqrt{3},0,\sqrt{3}; pontos de inflexão em \big(-\sqrt{3},-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big),\\ (0,0),\\ \big(\sqrt{3},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big)

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