Questão 10. Faça o gráfico das funções abaixo, utilizando todos os procedimentos de um estudo de funções (7 passos).
Passo 1
O enunciado pede para fazer o gráfico da função
e realizar todos os procedimentos de um estudo de funções em 7 passos. A função dada é
Informações que temos (retiradas do enunciado): a função está explicitamente dada por uma razão entre um polinômio de grau 1 no numerador e um polinômio de grau 2 no denominador. O que vamos procurar ao longo dos passos: domínio, zeros e interceptos, simetria, limites e assíntotas, derivada primeira (monotonicidade e extremos), derivada segunda (concavidade e pontos de inflexão) e, por fim, um esboço do gráfico usando os pontos e informações obtidas.
Passo 2
Domínio, zeros, interceptos e simetria — primeiro passo prático do estudo.
- Domínio: o denominador
nunca é zero para nenhum , pois . Portanto o domínio é todo o conjunto dos reais:
-
Zeros e intercepto com o eixo
: zeros ocorrem quando o numerador é zero (desde que o denominador seja finito), ou seja quando . Logo o único zero é . -
Intercepto com o eixo
: é . Calculando,
Portanto o gráfico passa na origem
.
- Simetria: calcule
:
Como
para todo
, a função é ímpar. Interpretação prática: o gráfico é simétrico em relação à origem — o ramo negativo é o simétrico do ramo positivo por rotação de
.
Observação: por causa da simetria ímpar, basta estudar geralmente
e refletir para
.
Passo 3
Limites e assíntotas horizontais/verticais e comportamento para grandes valores de
.
- Limite quando
e . Para grandes , o termo dominante no denominador é , então
Logo, quando
,
e quando
,
Portanto existe uma assíntota horizontal
. Observação: como
, a assíntota horizontal é cruzada pelo gráfico na origem — isso é perfeitamente possível.
-
Assíntotas verticais: para existir assíntota vertical precisaríamos denominador nulo em algum
(ou comportamento de divisão por zero). Como para todo , não há assíntota vertical. -
Sinal para grandes
: para o numerador é positivo então ; para tem . Assim, ao aproximar-se de o gráfico tende a por cima; ao aproximar-se de tende a por baixo.
Passo 4
Derivada primeira — cálculo detalhado (regra do quociente) e análise de monotonicidade e extremos.
Mini-aula rápida: a regra do quociente diz que para
com
,
Aqui
e
. Então
e
. Aplicando a regra:
Análise do sinal de
: o denominador
é sempre positivo. Assim o sinal de
é dado pelo numerador
.
-
quando , isto é para . -
quando . -
quando .
Conclusões (monotonicidade e extremos):
-
é crescente em . -
é decrescente em e em . - Em
temos um mínimo local e em um máximo local (pela mudança de sinal de ):
Por simetria ímpar, faz sentido que o máximo local seja
e o mínimo
.]
Passo 5
Derivada segunda — concavidade e pontos de inflexão (cálculo detalhado).
Queremos
. Partimos de
. Vou derivar explicitamente (produto/quotient novamente). Usando cálculo direto (derivando numerador
e denominador
):
-
. -
.
Aplicando a regra do quociente:
Portanto,
Análise do sinal de
: o denominador é sempre positivo. Assim o sinal depende do numerador
.
- Zeros de
: quando ou . - Sinal por intervalos:
- Para
: e → produto → (concavidade para baixo). - Para
: e → produto → (concavidade para cima). - Para
: e → produto → (concavidade para baixo). - Para
: e → produto → (concavidade para cima).
- Para
Portanto os pontos
são candidatos a pontos de inflexão (mudança de concavidade). Verificando que ocorre mudança de sinal em cada ponto, confirmamos que são pontos de inflexão.
Valores da função nestes pontos:
E
(já calculado). Assim os pontos de inflexão são
.]
Passo 6
Resumo das características principais (tudo pronto para desenhar):
- Domínio:
. - Zeros / interceptos:
. - Simetria: função ímpar (simetria em relação à origem).
- Assíntota horizontal:
(o gráfico tende a quando ). Sem assíntotas verticais. - Crescimento/decrescimento:
- Crescente em
. - Decrescente em
e em .
- Crescente em
- Extremos locais:
- Mínimo local em
. - Máximo local em
.
- Mínimo local em
- Concavidade:
- Concava para baixo em
e em . - Concava para cima em
e em .
- Concava para baixo em
- Pontos de inflexão:
. - Alguns pontos úteis para esboço (valores exatos e aproximados):
-
. -
. -
. -
. -
. -
. -
.
-
Dica prática para desenhar: trace os eixos; marque os pontos
e os pontos de inflexão
; desenhe o ramo para
começando perto de
subindo até o máximo em
, depois descendo suave cruzando os pontos de inflexão e aproximando-se de
por cima quando
. Reflita por rotação de
para obter o ramo para
. A curva é suave, sem cantos, e cruza o eixo
em
.
Passo 7
Interpretação final e como desenhar em prova (passo a passo prático e rápido):
- Marque eixo e plano cartesiano.
- Coloque o ponto central
. - Desenhe pontos-chave:
, , , , e mais alguns como , . - Use o fato de monotonicidade: subir de
a , descer antes e depois; e concavidade para ajustar a curvatura entre os pontos de inflexão. - Acrescente a assíntota horizontal
(linha tracejada) indicando que as caudas se aproximam de zero. - Verifique simetria: tudo que fizer para
reflita pela origem para . - Trace uma curva suave que passe por esses pontos obedecendo concavidades e extremos — pronto, tem-se um esboço fiel do gráfico.
Força aí — com esses pontos e propriedades você consegue esboçar o gráfico rapidamente na prova: lembra que o pic do gráfico é em
, o vale em
, e as caudas vão para
.
Resposta
Domínio:
Intercepto/zero:
Simetria: ímpar (simetria em relação à origem)
Assíntota horizontal: ; sem assíntotas verticais
Crescimento/decrescimento: crescente em ; decrescente em
e
Extremos: mínimo local em ; máximo local em
Concavidade e pontos de inflexão: concavidade muda em ; pontos de inflexão em
Intercepto/zero:
Simetria: ímpar (simetria em relação à origem)
Assíntota horizontal:
Crescimento/decrescimento: crescente em
Extremos: mínimo local em
Concavidade e pontos de inflexão: concavidade muda em