Questão 8. O lucro P (em milhares de reais) de uma companhia que gasta uma quantia s (em milhares de reais) em propaganda é P=\frac{-1}{10} s^{3}+6 s^{2}+400. Calcule a quantia de dinheiro que a companhia deve investir em propaganda para obter o lucro máximo e diga qual é o lucro máximo.

Passo 1

O enunciado nos fornece a função lucro em função do gasto com propaganda. Dados e pedidos (tudo tirado do enunciado):
  • A função lucro é P(s)=\dfrac{-1}{10}s^{3}+6s^{2}+400.
  • As unidades: P está em milhares de reais e s também está em milhares de reais.
  • O que se pede:
    1. A quantia s que deve ser investida em propaganda para obter o lucro máximo.
    2. O valor do lucro máximo correspondente.

Passo 2

Entendendo qual cálculo vamos usar (aula rápida e simples sobre a ideia por trás): para maximizar uma função suave como um polinômio, procuramos pontos onde a inclinação é zero — esses pontos são chamados de pontos críticos. A inclinação da função em cada s é dada pela derivada P'(s). Então primeiro vamos calcular P'(s). Regras rápidas usadas:
  • Derivada de a s^{n} é a n s^{n-1}.
  • Derivada de soma é soma das derivadas.

Passo 3

Aplicando a regra termo a termo para obter P'(s):
P(s)=\frac{-1}{10}s^{3}+6s^{2}+400
P'(s)=\frac{d}{ds}\!\left(\frac{-1}{10}s^{3}\right)+\frac{d}{ds}(6s^{2})+\frac{d}{ds}(400).
Agora cada termo:
\frac{d}{ds}\!\left(\frac{-1}{10}s^{3}\right)=\frac{-1}{10}\cdot 3 s^{2}=\frac{-3}{10}s^{2},
\frac{d}{ds}(6s^{2})=6\cdot 2 s=12s,
\frac{d}{ds}(400)=0.
Somando:
P'(s)=\frac{-3}{10}s^{2}+12s.

Passo 4

Encontrar os pontos críticos: resolver P'(s)=0.
\frac{-3}{10}s^{2}+12s=0.
Fatorando s:
s\!\left(\frac{-3}{10}s+12\right)=0.
As soluções são
s=0 \qquad\text{ou}\qquad \frac{-3}{10}s+12=0.
Resolvendo a segunda equação:
\frac{-3}{10}s=-12 \quad\Rightarrow\quad s=\frac{-12}{-3/10}=12\cdot\frac{10}{3}=40.
Portanto os pontos críticos são s=0 e s=40 (ambos em milhares de reais).

Passo 5

Precisamos decidir qual desses pontos é máximo e qual é mínimo. Usamos a segunda derivada (teste da segunda derivada): se P''(s)<0 então é máximo local; se P''(s)>0 então é mínimo local. Primeiro calcule P''(s).
A partir de P'(s)=\dfrac{-3}{10}s^{2}+12s:
P''(s)=\frac{d}{ds}\!\left(\frac{-3}{10}s^{2}\right)+\frac{d}{ds}(12s) =\frac{-3}{10}\cdot 2 s + 12 =\frac{-6}{10}s+12.
Simplificando a fração:
P''(s)=-\frac{3}{5}s+12.

Passo 6

Avaliar P''(s) nos pontos críticos:
  • Em s=0:
P''(0)=-\frac{3}{5}\cdot 0+12=12>0,
logo s=0 é ponto de mínimo local.
  • Em s=40:
P''(40)=-\frac{3}{5}\cdot 40+12=-\frac{3\cdot 40}{5}+12=-\frac{120}{5}+12=-24+12=-12<0,
logo s=40 é ponto de máximo local.

Passo 7

Agora calculamos o lucro correspondente no ponto de máximo s=40. Substituímos s=40 em P(s).
Primeiro calcule potências:
40^{2}=1600,\qquad 40^{3}=40\cdot 1600=64\,000.
Agora:
P(40)=\frac{-1}{10}\cdot 64\,000 + 6\cdot 1\,600 + 400.
Calcule cada termo:
\frac{-1}{10}\cdot 64\,000=-6\,400, \qquad 6\cdot 1\,600=9\,600.
Somando:
P(40)=-6\,400+9\,600+400=3\,600.
Lembre: P está em milhares de reais, então P(40)=3\,600 significa 3{,}6\times 10^{6} reais.

Passo 8

Resumo interpretativo (rápido incentivo): o ponto crítico s=40 (em milhares de reais) é um máximo local e, neste contexto, é o investimento que maximiza o lucro. Dá para fazer esses cálculos à mão rapidinho: derivada, igualar a zero, testar sinal da segunda derivada e avaliar a função.

Resposta

s=40 (milhares de reais), isto é 40\times 10^{3} reais.
P_{\max}=3600 (milhares de reais), isto é 3{,}6\times 10^{6} reais.

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