Questão 8. O lucro
(em milhares de reais) de uma companhia que gasta uma quantia
(em milhares de reais) em propaganda é
. Calcule a quantia de dinheiro que a companhia deve investir em propaganda para obter o lucro máximo e diga qual é o lucro máximo.
Passo 1
O enunciado nos fornece a função lucro em função do gasto com propaganda. Dados e pedidos (tudo tirado do enunciado):
- A função lucro é
. - As unidades:
está em milhares de reais e também está em milhares de reais. - O que se pede:
- A quantia
que deve ser investida em propaganda para obter o lucro máximo. - O valor do lucro máximo correspondente.
- A quantia
Passo 2
Entendendo qual cálculo vamos usar (aula rápida e simples sobre a ideia por trás): para maximizar uma função suave como um polinômio, procuramos pontos onde a inclinação é zero — esses pontos são chamados de pontos críticos. A inclinação da função em cada
é dada pela derivada
. Então primeiro vamos calcular
. Regras rápidas usadas:
- Derivada de
é . - Derivada de soma é soma das derivadas.
Passo 3
Aplicando a regra termo a termo para obter
:
Agora cada termo:
Somando:
Passo 4
Encontrar os pontos críticos: resolver
.
Fatorando
:
As soluções são
Resolvendo a segunda equação:
Portanto os pontos críticos são
e
(ambos em milhares de reais).
Passo 5
Precisamos decidir qual desses pontos é máximo e qual é mínimo. Usamos a segunda derivada (teste da segunda derivada): se
então é máximo local; se
então é mínimo local. Primeiro calcule
.
A partir de :
A partir de
Simplificando a fração:
Passo 6
Avaliar
nos pontos críticos:
- Em
:
logo
é ponto de mínimo local.
- Em
:
logo
é ponto de máximo local.
Passo 7
Agora calculamos o lucro correspondente no ponto de máximo
. Substituímos
em
.
Primeiro calcule potências:
Primeiro calcule potências:
Agora:
Calcule cada termo:
Somando:
Lembre:
está em milhares de reais, então
significa
reais.
Passo 8
Resumo interpretativo (rápido incentivo): o ponto crítico
(em milhares de reais) é um máximo local e, neste contexto, é o investimento que maximiza o lucro. Dá para fazer esses cálculos à mão rapidinho: derivada, igualar a zero, testar sinal da segunda derivada e avaliar a função.