Verifique se a função indicada é uma solução da equação diferencial dada.
,
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e a função candidata. As informações fornecidas são:
- Equação diferencial:
. - Função candidata:
.
O que se pede: verificar se a função indicada satisfaz a equação diferencial (ou seja, se ao substituir
e
na equação obtemos uma identidade verdadeira). Observação imediata: a função
só está definida para
por causa do termo
.
Passo 2
Calcular a derivada
da função candidata e explicar as regras usadas.
Regra usada (regra do poder e linearidade):
- A derivada de
é para qualquer número real . - A derivada de uma soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas:
.
Aplicando ao nosso
:
Pela linearidade,
Usando a regra do poder:
Portanto
Passo 3
Substituir
e
na equação diferencial e simplificar passo a passo.
A expressão à esquerda da equação é
. Substituindo:
Desenvolvendo o produto:
Assim
Agrupando termos semelhantes:
Passo 4
Interpretação do resultado e domínio de validade.
Encontramos que, após substituir, a expressão à esquerda da equação diferencial é exatamente
, ou seja a igualdade
é satisfeita por
. Lembrando que todos os passos (derivação e manipulações com
) exigem
. Portanto a função é solução da equação diferencial no domínio onde está definida:
.
Passo 5
Resumo didático rápido (como fazer isso na prova):
- Primeiro identifique a função candidata e calcule
aplicando a regra do poder e a linearidade das derivadas. - Depois substitua
e na equação e simplifique algébricamente, procurando cancelamentos óbvios. - Verifique o domínio (valores de
onde a função e a substituição fazem sentido).
No caso concreto, a verificação resulta em igualdade exata e o domínio é. Força aí — você conseguiu checar direitinho!
Resposta
Sim,
é solução da equação
para
.