Verifique se a função indicada é uma solução da equação diferencial dada.
x y^{\prime}+y=2 x ; \quad y=x-x^{-1},

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e a função candidata. As informações fornecidas são:
  • Equação diferencial: x\,y^{\prime}+y=2x.
  • Função candidata: y=x-x^{-1}.
O que se pede: verificar se a função indicada satisfaz a equação diferencial (ou seja, se ao substituir y e y^{\prime} na equação obtemos uma identidade verdadeira). Observação imediata: a função y=x-x^{-1} só está definida para x\neq0 por causa do termo x^{-1}.

Passo 2

Calcular a derivada y^{\prime} da função candidata e explicar as regras usadas.
Regra usada (regra do poder e linearidade):
  • A derivada de x^{n} é \dfrac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1} para qualquer número real n.
  • A derivada de uma soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas: \dfrac{d}{dx}(f+g)=f'+g'.
Aplicando ao nosso y:
y=x-x^{-1}.
Pela linearidade,
y'=(x)'-\bigl(x^{-1}\bigr)'.
Usando a regra do poder:
(x)'=1\quad\text{(pois }1\cdot x^{0}=1\text{)}, \qquad \bigl(x^{-1}\bigr)'=-1\cdot x^{-2}=-x^{-2}.
Portanto
y'=1-(-x^{-2})=1+x^{-2}.

Passo 3

Substituir y e y' na equação diferencial e simplificar passo a passo.
A expressão à esquerda da equação é x\,y'+y. Substituindo:
x\,y'+y = x\bigl(1+x^{-2}\bigr) + \bigl(x - x^{-1}\bigr).
Desenvolvendo o produto:
x\bigl(1+x^{-2}\bigr) = x + x\cdot x^{-2} = x + x^{-1}.
Assim
x\,y'+y = \bigl(x + x^{-1}\bigr) + \bigl(x - x^{-1}\bigr).
Agrupando termos semelhantes:
x\,y'+y = x + x^{-1} + x - x^{-1} = x + x = 2x.

Passo 4

Interpretação do resultado e domínio de validade.
Encontramos que, após substituir, a expressão à esquerda da equação diferencial é exatamente 2x, ou seja a igualdade
x\,y'+y = 2x
é satisfeita por y=x-x^{-1}. Lembrando que todos os passos (derivação e manipulações com x^{-1}) exigem x\neq0. Portanto a função é solução da equação diferencial no domínio onde está definida: x\neq0.

Passo 5

Resumo didático rápido (como fazer isso na prova):
  • Primeiro identifique a função candidata e calcule y' aplicando a regra do poder e a linearidade das derivadas.
  • Depois substitua y e y' na equação e simplifique algébricamente, procurando cancelamentos óbvios.
  • Verifique o domínio (valores de x onde a função e a substituição fazem sentido).
    No caso concreto, a verificação resulta em igualdade exata e o domínio é x\neq0. Força aí — você conseguiu checar direitinho!

Resposta

Sim, y=x-x^{-1} é solução da equação x\,y^{\prime}+y=2x para x\neq0.

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