Questão 9. Dada a função
, encontre o ponto de inflexão do gráfico e diga os intervalos onde o gráfico é côncavo para cima e para baixo.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Encontrar o ponto de inflexão do gráfico (ou seja, as coordenadas do ponto onde a concavidade muda).
- Dizer os intervalos onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo.
Informações importantes fornecidas:
- A função explicitamente:
. - Não há restrição de domínio indicada, então consideramos o domínio natural das funções polinomiais: todos os reais, isto é
.
Passo 2
Primeiro precisamos entender como detectar concavidade e ponto de inflexão usando derivadas. Aqui vai a ideia, bem mastigada:
- A primeira derivada
dá a inclinação da curva (taxa de variação). - A segunda derivada
mede como essa inclinação muda; ela é a derivada da derivada. - Regras práticas:
- Se
em um intervalo, a curva é côncava para cima aí (parecida com uma “tigela”). - Se
em um intervalo, a curva é côncava para baixo aí (parecida com um “arco”). - Um ponto de inflexão é um ponto onde
muda de sinal (de positivo para negativo ou vice-versa). Em muitos casos isso ocorre quando (ou é indefinida).
- Se
- Vamos aplicar isso: primeiro calculamos
e depois .
Passo 3
Calcular
. Usamos a regra do poder: se
então
.
Aplicando termo a termo em :
Aplicando termo a termo em
Aqui cada termo foi derivado:
,
,
, e a constante
some.
Passo 4
Agora calculamos
, que é a derivada de
. Derivando
:
De novo, aplicação direta da regra do poder:
,
, e a constante
some.
Passo 5
Encontrar candidatos a ponto de inflexão: resolver
(e/ou verificar onde é indefinida). Aqui
é uma função polinomial definida para todo
, então possíveis inflexões vêm de
.
Resolvendo:
Resolvendo:
Então
é o candidato. Agora é obrigatório verificar se há mudança de sinal de
em torno de
; só zero não garante inflexão sem mudança de sinal.
Passo 6
Testar o sinal de
à esquerda e à direita de
.
- Para
, por exemplo : Logo, à esquerda de temos , ou seja concavidade para baixo. - Para
, por exemplo : Logo, à direita de temos , ou seja concavidade para cima.
Como o sinal de
muda de negativo para positivo ao passar por
, isso confirma que
é realmente um ponto de inflexão.
Passo 7
Calcular a coordenada
do ponto de inflexão substituindo
em
:
Portanto o ponto de inflexão tem coordenadas
.
Passo 8
Concluir os intervalos de concavidade a partir do sinal de
:
- Se
então e a curva é côncava para baixo em . - Se
então e a curva é côncava para cima em .
Resposta
Ponto de inflexão:
Côncavo para cima em
Côncavo para baixo em
Côncavo para cima em
Côncavo para baixo em