Questão 9. Dada a função f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x+1, encontre o ponto de inflexão do gráfico e diga os intervalos onde o gráfico é côncavo para cima e para baixo.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x+1 e pede duas coisas:
  • Encontrar o ponto de inflexão do gráfico (ou seja, as coordenadas do ponto onde a concavidade muda).
  • Dizer os intervalos onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo.
Informações importantes fornecidas:
  • A função explicitamente: f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x+1.
  • Não há restrição de domínio indicada, então consideramos o domínio natural das funções polinomiais: todos os reais, isto é (-\infty,\infty).

Passo 2

Primeiro precisamos entender como detectar concavidade e ponto de inflexão usando derivadas. Aqui vai a ideia, bem mastigada:
  • A primeira derivada f'(x) dá a inclinação da curva (taxa de variação).
  • A segunda derivada f''(x) mede como essa inclinação muda; ela é a derivada da derivada.
  • Regras práticas:
    • Se f''(x)>0 em um intervalo, a curva é côncava para cima aí (parecida com uma “tigela”).
    • Se f''(x)<0 em um intervalo, a curva é côncava para baixo aí (parecida com um “arco”).
    • Um ponto de inflexão é um ponto onde f''(x) muda de sinal (de positivo para negativo ou vice-versa). Em muitos casos isso ocorre quando f''(x)=0 (ou é indefinida).
  • Vamos aplicar isso: primeiro calculamos f'(x) e depois f''(x).

Passo 3

Calcular f'(x). Usamos a regra do poder: se g(x)=a x^{n} então g'(x)=a n x^{n-1}.
Aplicando termo a termo em f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x+1:
f'(x)=3x^{2}-12x+9.
Aqui cada termo foi derivado: (x^{3})' = 3x^{2}, (-6x^{2})' = -12x, (9x)'=9, e a constante 1 some.

Passo 4

Agora calculamos f''(x), que é a derivada de f'(x). Derivando \,f'(x)=3x^{2}-12x+9:
f''(x)=6x-12.
De novo, aplicação direta da regra do poder: (3x^{2})' = 6x, (-12x)'=-12, e a constante 9 some.

Passo 5

Encontrar candidatos a ponto de inflexão: resolver \,f''(x)=0 (e/ou verificar onde é indefinida). Aqui f''(x)=6x-12 é uma função polinomial definida para todo x, então possíveis inflexões vêm de 6x-12=0.
Resolvendo:
6x-12=0 \quad\Rightarrow\quad 6x=12 \quad\Rightarrow\quad x=2.
Então x=2 é o candidato. Agora é obrigatório verificar se há mudança de sinal de f''(x) em torno de x=2; só zero não garante inflexão sem mudança de sinal.

Passo 6

Testar o sinal de f''(x) à esquerda e à direita de x=2.
  • Para x<2, por exemplo x=0: f''(0)=6\cdot 0-12=-12<0.Logo, à esquerda de x=2 temos f''(x)<0, ou seja concavidade para baixo.
  • Para x>2, por exemplo x=3: f''(3)=6\cdot 3-12=18-12=6>0.Logo, à direita de x=2 temos f''(x)>0, ou seja concavidade para cima.
Como o sinal de f''(x) muda de negativo para positivo ao passar por x=2, isso confirma que x=2 é realmente um ponto de inflexão.

Passo 7

Calcular a coordenada y do ponto de inflexão substituindo x=2 em f(x):
f(2)=2^{3}-6\cdot 2^{2}+9\cdot 2+1=8-24+18+1=3.
Portanto o ponto de inflexão tem coordenadas (2,3).

Passo 8

Concluir os intervalos de concavidade a partir do sinal de f''(x)=6x-12:
  • Se 6x-12<0 então x<2 e a curva é côncava para baixo em (-\infty,2).
  • Se 6x-12>0 então x>2 e a curva é côncava para cima em (2,\infty).

Resposta

Ponto de inflexão: (2,3)
Côncavo para cima em (2,\infty)
Côncavo para baixo em (-\infty,2)

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