Questão 10. Um homem tem 5 amigas e 7 amigos. Sua esposa tem 7 amigas e 5 amigos. De quantos modos eles podem convidar 6 amigos e 6 amigas, se cada um deve convidar 6 pessoas?

Passo 1

O enunciado pede que um casal convide ao todo 6 amigos (masculinos) e 6 amigas (femininas), sendo que cada membro do casal deve convidar exatamente 6 pessoas de suas próprias listas. O conteúdo é de contagem com combinações: precisamos dividir como cada um convida quantos homens e quantas mulheres, respeitando o total de 6 de cada gênero.

Passo 2

Vamos chamar de x o número de homens que o marido convida. Então:
  • O marido convida x homens de seus 7 amigos masculinos e 6-x mulheres de suas 5 amigas femininas.
  • Como ao todo devem ser convidados 6 homens, a esposa convida 6-x homens de seus 5 amigos masculinos.
  • Como ao todo devem ser convidadas 6 mulheres, a esposa convida x mulheres de suas 7 amigas femininas.

Passo 3

Verificamos as restrições sobre x:
  • O marido só tem 7 homens, então 0\le x\le7, e só tem 5 mulheres, então 6-x\le5\implies x\ge1.
  • A esposa só tem 5 homens, então 6-x\le5\implies x\ge1, e só tem 7 mulheres, então x\le7.
    Portanto x varia de 1 até 6.

Passo 4

Para cada valor de x\in\{1,2,3,4,5,6\}, o número de maneiras é:
\binom{7}{x}\binom{5}{6-x} \;\times\; \binom{5}{6-x}\binom{7}{x} \;=\; \bigl[\binom{7}{x}\bigr]^{2}\,\bigl[\binom{5}{6-x}\bigr]^{2}.
Somando em x obtemos
\sum_{x=1}^{6}\binom{7}{x}^{2}\,\binom{5}{6-x}^{2}.

Passo 5

Calculando termo a termo:
x =1: \binom{7}{1}^{2}\binom{5}{5}^{2}=7^{2}\cdot1^{2}=49
x =2: \binom{7}{2}^{2}\binom{5}{4}^{2}=21^{2}\cdot5^{2}=441\cdot25=11\,025
x =3: \binom{7}{3}^{2}\binom{5}{3}^{2}=35^{2}\cdot10^{2}=1\,225\cdot100=122\,500
x =4: por simetria idem a x=3, dá 122\,500
x =5: por simetria idem a x=2, dá 11\,025
x =6: por simetria idem a x=1, dá 49
Somando:
49 + 11\,025 + 122\,500 + 122\,500 + 11\,025 + 49 = 267\,148.

Resposta

267\,148 modos.

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