Questão 10. Um homem tem 5 amigas e 7 amigos. Sua esposa tem 7 amigas e 5 amigos. De quantos modos eles podem convidar 6 amigos e 6 amigas, se cada um deve convidar 6 pessoas?
Passo 1
O enunciado pede que um casal convide ao todo
amigos (masculinos) e
amigas (femininas), sendo que cada membro do casal deve convidar exatamente
pessoas de suas próprias listas. O conteúdo é de contagem com combinações: precisamos dividir como cada um convida quantos homens e quantas mulheres, respeitando o total de
de cada gênero.
Passo 2
Vamos chamar de
o número de homens que o marido convida. Então:
- O marido convida
homens de seus amigos masculinos e mulheres de suas amigas femininas. - Como ao todo devem ser convidados
homens, a esposa convida homens de seus amigos masculinos. - Como ao todo devem ser convidadas
mulheres, a esposa convida mulheres de suas amigas femininas.
Passo 3
Verificamos as restrições sobre
:
- O marido só tem
homens, então , e só tem mulheres, então . - A esposa só tem
homens, então , e só tem mulheres, então .
Portantovaria de até .
Passo 4
Para cada valor de
, o número de maneiras é:
Somando em
obtemos
Passo 5
Calculando termo a termo:
x :
x :
x :
x : por simetria idem a
, dá
x : por simetria idem a
, dá
x : por simetria idem a
, dá
x
x
x
x
x
x
Somando: