Questão 12. Empregando 10 consoantes e 5 vogais, calcule o número de palavras de 6 letras que se pode formar sem usar consoantes nem vogais adjacentes,
a) se são permitidas repetições;
b) se não são permitidas repetições.

Passo 1

O enunciado pede o número de “palavras” de 6 letras formadas com 10 consoantes e 5 vogais, de modo que não haja duas consoantes adjacentes nem duas vogais adjacentes. Isso significa que as letras devem alternar consoante (C) e vogal (V). Como o total de casas é 6, só há duas disposições possíveis:
C V C V C V
V C V C V C
Para cada padrão vamos contar quantas palavras podemos formar e depois somar os casos. No item (a) permitimos repetições de letra; no item (b) as repetições são proibidas.

Passo 2

( a ) repetições permitidas
Em cada posição marcada C há 10 escolhas independentes, e em cada posição V há 5 escolhas independentes. Num padrão C V C V C V temos 3 posições C e 3 posições V, portanto
10^3 \times 5^3 = 1000 \times 125 = 125\,000.
O mesmo vale para o padrão V C V C V C, que também dá 125\,000. Somando os dois padrões:
125\,000 + 125\,000 = 250\,000.

Passo 3

( b ) sem repetições
Agora em cada padrão precisamos escolher 3 consoantes distintas e colocá-las em ordem, e o mesmo para as vogais.
O número de maneiras de escolher e ordenar 3 consoantes dentre 10 é
P(10,3) = 10 \times 9 \times 8 = 720.
O número de maneiras de escolher e ordenar 3 vogais dentre 5 é
P(5,3) = 5 \times 4 \times 3 = 60.
Assim, em um padrão há
720 \times 60 = 43\,200
palavras. Como há 2 padrões, o total é
2 \times 43\,200 = 86\,400.

Resposta

(a) 250\,000
(b) 86\,400

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