Questão 9. Em um torneio no qual cada participante enfrenta todos os demais uma única vez, são jogadas 780 partidas. Quantos são os participantes?

Passo 1

O enunciado fala de um torneio em que cada participante joga exatamente uma vez contra cada outro participante, totalizando 780 partidas. O conteúdo aqui é contagem de pares (combinações de 2 em 2) num conjunto de n participantes. Vamos usar a fórmula do número de partidas em um torneio todos contra todos:
\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}.

Passo 2

Como o número total de partidas é 780, igualamos a fórmula:
\frac{n(n-1)}{2} = 780.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar o denominador e reorganizamos em forma de equação quadrática:
n(n-1) = 1560 \quad\Longrightarrow\quad n^2 - n - 1560 = 0.

Passo 4

Para resolver n^2 - n - 1560 = 0, usamos a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1560) = 1 + 6240 = 6241,
e \sqrt{\Delta} = 79. Assim,
n = \frac{1 \pm 79}{2}.

Passo 5

Das duas raízes \frac{1+79}{2}=40 e \frac{1-79}{2}=-39, descartamos a negativa. Portanto, o número de participantes é

Resposta

40 participantes.

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