Questão 12. Empregando 10 consoantes e 5 vogais, calcule o número de palavras de 6 letras que se pode formar sem usar consoantes nem vogais adjacentes,
a) se são permitidas repetições;
b) se não são permitidas repetições.
a) se são permitidas repetições;
b) se não são permitidas repetições.
Passo 1
O enunciado pede o número de “palavras” de 6 letras formadas com 10 consoantes e 5 vogais, de modo que não haja duas consoantes adjacentes nem duas vogais adjacentes. Isso significa que as letras devem alternar consoante (C) e vogal (V). Como o total de casas é 6, só há duas disposições possíveis:
C V C V C V
V C V C V C
Para cada padrão vamos contar quantas palavras podemos formar e depois somar os casos. No item (a) permitimos repetições de letra; no item (b) as repetições são proibidas.
C V C V C V
V C V C V C
Para cada padrão vamos contar quantas palavras podemos formar e depois somar os casos. No item (a) permitimos repetições de letra; no item (b) as repetições são proibidas.
Passo 2
( a ) repetições permitidas
Em cada posição marcada C há 10 escolhas independentes, e em cada posição V há 5 escolhas independentes. Num padrão C V C V C V temos 3 posições C e 3 posições V, portanto
Em cada posição marcada C há 10 escolhas independentes, e em cada posição V há 5 escolhas independentes. Num padrão C V C V C V temos 3 posições C e 3 posições V, portanto
O mesmo vale para o padrão V C V C V C, que também dá
. Somando os dois padrões:
Passo 3
( b ) sem repetições
Agora em cada padrão precisamos escolher 3 consoantes distintas e colocá-las em ordem, e o mesmo para as vogais.
O número de maneiras de escolher e ordenar 3 consoantes dentre 10 é
Agora em cada padrão precisamos escolher 3 consoantes distintas e colocá-las em ordem, e o mesmo para as vogais.
O número de maneiras de escolher e ordenar 3 consoantes dentre 10 é
O número de maneiras de escolher e ordenar 3 vogais dentre 5 é
Assim, em um padrão há
palavras. Como há 2 padrões, o total é
Resposta
(a)
(b)
(b)