Questão 10. Lembre-se de que uma norma em um espaço vetorial V é uma função
\|\cdot\|: V \rightarrow \mathbb{R}, \quad v \longmapsto\|v\|
que satisfaz, para quaisquer v, w \in \mathbb{V} e \lambda \in \mathbb{R},
(N1) \|v\| \geq 0
(N2) (Desigualdade triangular) \|v+w\| \leq\|v\|+\|w\|;
(N3) (Homogeneidade absoluta) \|\lambda v\|=|\lambda|\|v\|;
(N4) Se \|v\|=0 então \|v\|=0.
Por exemplo, uma norma advinda de um produto interno de fato é uma norma conforme a definição acima.
(a) Prove a desigualdade triangular inversa:
\mid\|u\|-\|v\|\|\leq\| u-v \| .
(b) Mostre que para quaisquer u, v \in V, a função t \mapsto\|t u+v\| é contínua.
Conclua que uma norma vem de um produto interno se, e somente se, ela satisfaz à lei do paralelogramo (como na questão anterior).
Passo 1
O enunciado trata de normas em um espaço vetorial V e pede:
Provar a desigualdade triangular inversa
\bigl|\|u\|-\|v\|\bigr|\le\|u-v\|
para quaisquer u,v\in V.
2. Mostrar que, fixados u,v\in V, a função
t\longmapsto\|t\,u+v\|
é contínua em \mathbb{R}.
Por fim, concluir que uma norma provém de um produto interno se, e somente se, ela satisfaz à lei do paralelogramo
\|u+v\|^2+\|u-v\|^2=2\bigl(\|u\|^2+\|v\|^2\bigr).
Passo 2
Prova da desigualdade triangular inversa. Usamos duas vezes a desigualdade triangular (N2):