Questão 9. Se
e
são vetores no EPI
, prove que:
(a) (identidade de polarização)
(a) (identidade de polarização)
Passo 1
O enunciado nos pede para provar a identidade de polarização em um espaço pré–interno real
. Ou seja, mostrar que o produto interno entre
e
pode ser expresso apenas em termos das normas
e
. Vamos usar as propriedades de bilinearidade, simetria e positividade do produto interno.
Passo 2
Começamos calculando a norma ao quadrado de
. Pela definição de norma em função do produto interno e pela bilinearidade, temos
Passo 3
De modo análogo, calculamos a norma ao quadrado de
:
Passo 4
Subtraindo a segunda expressão da primeira, eliminamos os termos
e
, ficando
Isolando
, obtemos a identidade de polarização.