Questão 9. Se v e w são vetores no EPI V, prove que:
(a) (identidade de polarização)
\langle v, w\rangle=\frac{\|v+w\|^{2}+\|v-w\|^{2}}{4} .

Passo 1

O enunciado nos pede para provar a identidade de polarização em um espaço pré–interno real V. Ou seja, mostrar que o produto interno entre v e w pode ser expresso apenas em termos das normas \|v+w\| e \|v-w\|. Vamos usar as propriedades de bilinearidade, simetria e positividade do produto interno.

Passo 2

Começamos calculando a norma ao quadrado de v+w. Pela definição de norma em função do produto interno e pela bilinearidade, temos
\|v+w\|^2 = \langle v+w,\,v+w\rangle = \langle v,v\rangle + 2\langle v,w\rangle + \langle w,w\rangle = \|v\|^2 + 2\langle v,w\rangle + \|w\|^2.

Passo 3

De modo análogo, calculamos a norma ao quadrado de v-w:
\|v-w\|^2 = \langle v-w,\,v-w\rangle = \langle v,v\rangle - 2\langle v,w\rangle + \langle w,w\rangle = \|v\|^2 - 2\langle v,w\rangle + \|w\|^2.

Passo 4

Subtraindo a segunda expressão da primeira, eliminamos os termos \|v\|^2 e \|w\|^2, ficando
\|v+w\|^2 - \|v-w\|^2 = \bigl(\|v\|^2 + 2\langle v,w\rangle + \|w\|^2\bigr) - \bigl(\|v\|^2 - 2\langle v,w\rangle + \|w\|^2\bigr) = 4\,\langle v,w\rangle.
Isolando \langle v,w\rangle, obtemos a identidade de polarização.

Resposta

\langle v, w\rangle = \frac{\|v+w\|^{2} - \|v-w\|^{2}}{4}.

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