Questão 11. Encontre uma base ortonormal para o complemento ortogonal do subespaço de \mathbb{R}^{3} gerado pelos vetores u=\left[\begin{array}{c}3 \\\\ -1 \\\\ 2\end{array}\right] e v=\left[\begin{array}{c}-1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right].
Passo 1
O enunciado pede uma base ortonormal de U^{\perp}, onde
U = \Span\{u,v\}\subset\mathbb{R}^3
com
u = \begin{pmatrix}3\\\ -1\\\ 2\end{pmatrix},\quad v = \begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}.
Em \mathbb{R}^3, se u e v são independentes, U^{\perp} é um subespaço de dimensão 1. Logo basta achar um vetor não nulo w que satisfaça
w\cdot u = 0 \quad\text{e}\quad w\cdot v = 0,
e em seguida normalizá-lo.
Passo 2
Verificamos que u e v são independentes (nenhum é múltiplo do outro). Podemos então usar o produto vetorial para obter um vetor perpendicular a ambos: