Questão 11. Encontre uma base ortonormal para o complemento ortogonal do subespaço de \mathbb{R}^{3} gerado pelos vetores u=\left[\begin{array}{c}3 \\\\ -1 \\\\ 2\end{array}\right] e v=\left[\begin{array}{c}-1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal de U^{\perp}, onde
U = \Span\{u,v\}\subset\mathbb{R}^3
com
u = \begin{pmatrix}3\\\ -1\\\ 2\end{pmatrix},\quad v = \begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}.
Em \mathbb{R}^3, se u e v são independentes, U^{\perp} é um subespaço de dimensão 1. Logo basta achar um vetor não nulo w que satisfaça
w\cdot u = 0 \quad\text{e}\quad w\cdot v = 0,
e em seguida normalizá-lo.

Passo 2

Verificamos que u e v são independentes (nenhum é múltiplo do outro). Podemos então usar o produto vetorial para obter um vetor perpendicular a ambos:
w_0 \;=\; u \times v \;=\; \begin{vmatrix} \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \mathbf{e}_3\\\\ 3 & -1 & 2\\\\ -1 & 2 & 3 \end{vmatrix} \;=\; \begin{pmatrix} (-1)\cdot3 - 2\cdot2\\\\ - \bigl(3\cdot3 - 2\cdot(-1)\bigr)\\\\ 3\cdot2 - (-1)\cdot(-1) \end{pmatrix} \;=\; \begin{pmatrix} -7\\\ -11\\\ 5 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora normalizamos w_0. Primeiro o seu comprimento:
\|w_0\| =\sqrt{(-7)^2 + (-11)^2 + 5^2} =\sqrt{49 + 121 + 25} =\sqrt{195}.
O vetor unitário é
w =\frac{1}{\|w_0\|}\,w_0 =\frac{1}{\sqrt{195}} \begin{pmatrix} -7\\\ -11\\\ 5 \end{pmatrix}.

Resposta

Uma base ortonormal de U^{\perp} é
\left\{\, \frac{1}{\sqrt{195}} \begin{pmatrix} -7\\\ -11\\\ 5 \end{pmatrix} \right\}.

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