Questão 10. Lembre-se de que uma norma em um espaço vetorial V é uma função
\|\cdot\|: V \rightarrow \mathbb{R}, \quad v \longmapsto\|v\|
que satisfaz, para quaisquer v, w \in \mathbb{V} e \lambda \in \mathbb{R},
(N1) \|v\| \geq 0
(N2) (Desigualdade triangular) \|v+w\| \leq\|v\|+\|w\|;
(N3) (Homogeneidade absoluta) \|\lambda v\|=|\lambda|\|v\|;
(N4) Se \|v\|=0 então \|v\|=0.
Por exemplo, uma norma advinda de um produto interno de fato é uma norma conforme a definição acima.
(a) Prove a desigualdade triangular inversa:
\mid\|u\|-\|v\|\|\leq\| u-v \| .
(b) Mostre que para quaisquer u, v \in V, a função t \mapsto\|t u+v\| é contínua.
Conclua que uma norma vem de um produto interno se, e somente se, ela satisfaz à lei do paralelogramo (como na questão anterior).

Passo 1

O enunciado trata de normas em um espaço vetorial V e pede:
  1. Provar a desigualdade triangular inversa
\bigl|\|u\|-\|v\|\bigr|\le\|u-v\|
para quaisquer u,v\in V.
2. Mostrar que, fixados u,v\in V, a função
t\longmapsto\|t\,u+v\|
é contínua em \mathbb{R}.
Por fim, concluir que uma norma provém de um produto interno se, e somente se, ela satisfaz à lei do paralelogramo
\|u+v\|^2+\|u-v\|^2=2\bigl(\|u\|^2+\|v\|^2\bigr).

Passo 2

Prova da desigualdade triangular inversa. Usamos duas vezes a desigualdade triangular (N2):
\|u\|=\|(u-v)+v\|\le\|u-v\|+\|v\| \quad\Longrightarrow\quad \|u\|-\|v\|\le\|u-v\|.
Trocando u por v e v por u temos
\|v\|-\|u\|\le\|v-u\|=\|u-v\|.
Combinar as duas desigualdades dá
-\|u-v\|\le\|u\|-\|v\|\le\|u-v\| \quad\Longrightarrow\quad \bigl|\|u\|-\|v\|\bigr|\le\|u-v\|.

Passo 3

Continuidade de t\mapsto\|t\,u+v\|. Tomemos t_0\in\mathbb{R}. Pela parte (a),
\bigl|\|t\,u+v\|-\|t_0\,u+v\|\bigr| \le\|\,t\,u+v-(t_0\,u+v)\| =\|(t-t_0)u\| =|t-t_0|\;\|u\|.
Como |t-t_0|\|u\|\to0 quando t\to t_0, a função é Lipschitz e, portanto, contínua.

Passo 4

Equivalência com produto interno.
  1. Se \|\cdot\| vem de um produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle, então uma conta direta mostra a lei do paralelogramo:
\|u+v\|^2+\|u-v\|^2 =\langle u+v,u+v\rangle+\langle u-v,u-v\rangle =2\bigl(\|u\|^2+\|v\|^2\bigr).
  1. Reciprocamente, se \|\cdot\| satisfaz a lei do paralelogramo e é contínua na forma de passo 3, então a aplicação
\langle u,v\rangle =\tfrac14\bigl(\|u+v\|^2-\|u-v\|^2\bigr)
é um produto interno que gera \|\cdot\| por \|u\|=\sqrt{\langle u,u\rangle}.

Resposta

Uma norma \|\cdot\| vem de um produto interno se, e somente se, ela satisfaz à lei do paralelogramo
\|u+v\|^2+\|u-v\|^2=2\bigl(\|u\|^2+\|v\|^2\bigr).

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