Questão 13. Seja \mathcal{B}=\left\{u_{1}, \ldots, u_{n}\right\} uma base ortonormal do EPI E. Para todo operador linear A: E \rightarrow E, prove que
\sum_{i=1}^{n}\left\|A u_{i}\right\|^{2}=\sum_{i, j=1}^{n}\left|\left\langle A u_{i}, u_{j}\right\rangle\right|^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left\|A^{*} u_{i}\right\|^{2}

Passo 1

O enunciado diz que \mathcal{B}=\{u_{1},\dots,u_{n}\} é uma base ortonormal de um espaço de produto interno E e que A: E\to E é um operador linear. Queremos mostrar que
\sum_{i=1}^{n}\bigl\|A u_{i}\bigr\|^{2} =\sum_{i,j=1}^{n}\bigl|\langle A u_{i},u_{j}\rangle\bigr|^{2} =\sum_{i=1}^{n}\bigl\|A^{*}u_{i}\bigr\|^{2}.
Para isso vamos usar dois ingredientes principais:
  1. A identidade de Parseval para base ortonormal, que diz que, para qualquer vetor v\in E,
\|v\|^{2}=\sum_{j=1}^{n}\bigl|\langle v,u_{j}\rangle\bigr|^{2}.
  1. A definição do adjunto A^{*}, que satisfaz
\langle A x,y\rangle=\langle x,A^{*}y\rangle \quad\text{para todos }x,y\in E.

Passo 2

Vamos usar Parseval no vetor A u_{i}. Para cada i temos
\bigl\|A u_{i}\bigr\|^{2} =\sum_{j=1}^{n}\bigl|\langle A u_{i},u_{j}\rangle\bigr|^{2}.
Somando em i de 1 a n, obtemos imediatamente
\sum_{i=1}^{n}\bigl\|A u_{i}\bigr\|^{2} =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\bigl|\langle A u_{i},u_{j}\rangle\bigr|^{2} =\sum_{i,j=1}^{n}\bigl|\langle A u_{i},u_{j}\rangle\bigr|^{2}.

Passo 3

Agora note que, pela definição de adjunto,
\langle A u_{i},u_{j}\rangle =\langle u_{i},A^{*}u_{j}\rangle.
Logo \bigl|\langle A u_{i},u_{j}\rangle\bigr| =\bigl|\langle u_{i},A^{*}u_{j}\rangle\bigr|. Substituindo na soma dupla,
\sum_{i,j=1}^{n}\bigl|\langle A u_{i},u_{j}\rangle\bigr|^{2} =\sum_{i,j=1}^{n}\bigl|\langle u_{i},A^{*}u_{j}\rangle\bigr|^{2}.
Agora, para cada j fixo, aplique Parseval ao vetor A^{*}u_{j}:
\bigl\|A^{*}u_{j}\bigr\|^{2} =\sum_{i=1}^{n}\bigl|\langle u_{i},A^{*}u_{j}\rangle\bigr|^{2}.
Somando em j de 1 a n
\sum_{j=1}^{n}\bigl\|A^{*}u_{j}\bigr\|^{2} =\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}\bigl|\langle u_{i},A^{*}u_{j}\rangle\bigr|^{2} =\sum_{i,j=1}^{n}\bigl|\langle u_{i},A^{*}u_{j}\rangle\bigr|^{2}.

Resposta

Concluímos que todas as três somas coincidem, ou seja,
\sum_{i=1}^{n}\bigl\|A u_{i}\bigr\|^{2} =\sum_{i,j=1}^{n}\bigl|\langle A u_{i},u_{j}\rangle\bigr|^{2} =\sum_{i=1}^{n}\bigl\|A^{*}u_{i}\bigr\|^{2}.

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