Questão 10. Qual o maior perímetro possível de um triângulo com um ponta em ( 0,0 ), outra em , e a terceira ponta sobre a parábola definida por ? E qual a maior área possível desse triângulo?
Passo 1
O enunciado pede para optimizar duas quantidades de um triângulo cujos vértices são , e , onde deve pertencer à parábola
O conteúdo é análise de funções reais: primeiro escrevemos o perímetro em função de , depois a área em função de , e em seguida vemos se existe ponto de máximo finito.
Passo 2
O perímetro do triângulo é a soma das três arestas. Como tem comprimento fixo igual a , e
temos
onde .
Passo 3
Para ver se atinge máximo, analisamos o comportamento para . Nesse caso
logo
Portanto
Não há, pois, valor finito de que maximize ; o perímetro cresce sem limite.
Passo 4
A área do triângulo pode ser calculada via determinante ou por base vezes altura. Usando
e substituindo
y=(x-2)^2+2,
obtemos
A(x)=(x-2)^2+22
Passo 5
Para lvert xrverttoinfty temos (x-2)^2toinfty, logo
A(x)simx^22to+infty
Não existe, portanto, área máxima finita.
Resposta
O perímetro não atinge valor máximo finito (tende a +infty).
A área também não atinge valor máximo finito (tende a +infty).