Questão 10. Qual o maior perímetro possível de um triângulo com um ponta em ( 0,0 ), outra em (1,0), e a terceira ponta sobre a parábola definida por y=(x-2)^2+2 ? E qual a maior área possível desse triângulo?

Passo 1

O enunciado pede para optimizar duas quantidades de um triângulo cujos vértices são A=(0,0), B=(1,0) e C=(x,y), onde C deve pertencer à parábola
y=(x-2)^2+2
O conteúdo é análise de funções reais: primeiro escrevemos o perímetro em função de x, depois a área em função de x, e em seguida vemos se existe ponto de máximo finito.

Passo 2

O perímetro P do triângulo é a soma das três arestas. Como AB tem comprimento fixo igual a 1, e
AC=raizx^2+y^2 , BC=raiz(x-1)^2+y^2,
temos
P(x)=1+raizx^2+y^2+raiz(x-1)^2+y^2,
onde y=(x-2)^2+2.

Passo 3

Para ver se P(x) atinge máximo, analisamos o comportamento para lvert xrverttoinfty. Nesse caso
y=(x-2)^2+2sim x^2,
logo
raizx^2+y^2simraizx^2+x^4sim x^2,
raiz(x-1)^2+y^2sim x^2
Portanto
P(x)sim1+2,x^2to+infty quando lvert xrverttoinfty
Não há, pois, valor finito de x que maximize P(x); o perímetro cresce sem limite.

Passo 4

A área A do triângulo pode ser calculada via determinante ou por base vezes altura. Usando
A=tfrac12llvertdetl(AB,ACr)rrvert =tfrac12llvert(1,0)times(x,y)rrvert =tfrac12,y,
e substituindo
y=(x-2)^2+2,
obtemos
A(x)=(x-2)^2+22

Passo 5

Para lvert xrverttoinfty temos (x-2)^2toinfty, logo
A(x)simx^22to+infty
Não existe, portanto, área máxima finita.

Resposta

O perímetro não atinge valor máximo finito (tende a +infty).
A área também não atinge valor máximo finito (tende a +infty).

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