Encontrar f^prime(x).
f(x)=e^|2 x-1|

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = e^lvert 2x - 1rvert
O conteúdo aqui é a regra da cadeia para exponencial combinada com a derivada do valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, usamos a definição em partes do valor absoluto:
lvert 2x - 1rvert = 2x - 1, & 2x - 1 >= 0, -(2x - 1), & 2x - 1 < 0
Isso significa que precisamos analisar os casos 2x-1>=0 (isto é, x>=tfrac12) e 2x-1<0 (isto é, x<tfrac12).

Passo 3

Caso x >= tfrac12:
então lvert 2x-1rvert = 2x - 1 e
f(x) = e^2x - 1
Aplicando a regra da cadeia,
f'(x) = ddxl(e^2x-1r) = e^2x-1cdot ddx(2x-1) = 2,e^2x-1

Passo 4

Caso x < tfrac12:
então lvert 2x-1rvert = -(2x - 1)= -2x + 1 e
f(x) = e^-2x + 1
Aplicando a regra da cadeia,
f'(x) = ddxl(e^-2x+1r) = e^-2x+1cdot ddx(-2x+1) = -2,e^-2x+1

Passo 5

No ponto x=tfrac12 não existe derivada de lvert 2x-1rvert, pois há canto (não é diferenciável). Logo
f'(x) não está definida em x=tfrac12 ãá

Resposta

f'(x)= 2,e^2x-1, & x>tfrac12, -2,e^-2x+1, & x<tfrac12, não definida, & x=tfrac12 ã

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