Questão 10 ( \mathbf{1 , 0} ponto): Seja S \subset \mathbb{R}^{3} a superfíce formada pelos pontos que satisfazem a equação
5 x^{2}-10 x z+5 z^{2}-x y-z y=3
Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange, podemos encontrar os pontos de S que são mais próximos da origem de \mathbb{R}^{3}. O método consiste em montar um sistema de equações que, se resolvido, nos dá uma lista de pontos que são candidatos a serem o ponto procurado.
Escreva aqui o sistema a ser resolvido. (não precisa resolver)

Passo 1

O enunciado dá a superfície S\subset\mathbb{R}^{3} formada pelos pontos (x,y,z) que satisfazem
5x^{2}-10xz+5z^{2}-xy-zy=3.
Pede-se montar (apenas montar) o sistema de equações do método dos multiplicadores de Lagrange que fornece os pontos de S mais próximos da origem. Não é preciso resolver o sistema, só escrevê‑lo.

Passo 2

Escolhemos minimizar a distância do ponto (x,y,z) até a origem. Em provas é sempre mais prático minimizar o quadrado da distância em vez da própria distância, pois o mínimo é preservado e as fórmulas ficam mais simples. Definimos a função objetivo
f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}.

Passo 3

Definimos a função de restrição a ser igualada a zero. A equação dada é
5x^{2}-10xz+5z^{2}-xy-zy-3=0.
Logo, definimos
g(x,y,z)=5x^{2}-10xz+5z^{2}-xy-zy-3,
e impomos g(x,y,z)=0.

Passo 4

O método dos multiplicadores de Lagrange diz que em pontos candidatos a mínimo sujeito à restrição precisamos ter
\nabla f(x,y,z)=\lambda\,\nabla g(x,y,z),
onde \lambda é o multiplicador e \nabla é o gradiente (vetor das derivadas parciais).

Passo 5

Calculamos as derivadas parciais de f. São simples porque f é soma de quadrados:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=2y,\qquad \frac{\partial f}{\partial z}=2z.

Passo 6

Agora calculamos as derivadas parciais de g. Para \partial g/\partial x:
a derivada de 5x^{2} é 10x; a de -10xz em relação a x é -10z; a de -xy é -y; os outros termos não dependem de x. Portanto
\frac{\partial g}{\partial x}=10x-10z-y.

Passo 7

Para \partial g/\partial y: somente os termos -xy e -zy dependem de y. Derivando obtemos
\frac{\partial g}{\partial y}=-x-z.

Passo 8

Para \partial g/\partial z: a derivada de -10xz em relação a z é -10x; a de 5z^{2} é 10z; a de -zy é -y. Assim
\frac{\partial g}{\partial z}=-10x+10z-y.

Passo 9

Substituindo \nabla f e \nabla g na condição de Lagrange obtemos o sistema de três equações (uma para cada coordenada) mais a restrição. Explicitamente:
2x=\lambda\,(10x-10z-y),
2y=\lambda\,(-x-z),
2z=\lambda\,(-10x+10z-y),
e a equação da superfície
5x^{2}-10xz+5z^{2}-xy-zy=3.

Resposta

\begin{cases} 2x=\lambda\,(10x-10z-y),\\[6pt] 2y=\lambda\,(-x-z),\\[6pt] 2z=\lambda\,(-10x+10z-y),\\[6pt] 5x^{2}-10xz+5z^{2}-xy-zy=3. \end{cases}

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