Questão 10 (
ponto): Seja
a superfíce formada pelos pontos que satisfazem a equação
Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange, podemos encontrar os pontos de
que são mais próximos da origem de
. O método consiste em montar um sistema de equações que, se resolvido, nos dá uma lista de pontos que são candidatos a serem o ponto procurado.
Escreva aqui o sistema a ser resolvido. (não precisa resolver)
Passo 1
O enunciado dá a superfície
formada pelos pontos
que satisfazem
Pede-se montar (apenas montar) o sistema de equações do método dos multiplicadores de Lagrange que fornece os pontos de
mais próximos da origem. Não é preciso resolver o sistema, só escrevê‑lo.
Passo 2
Escolhemos minimizar a distância do ponto
até a origem. Em provas é sempre mais prático minimizar o quadrado da distância em vez da própria distância, pois o mínimo é preservado e as fórmulas ficam mais simples. Definimos a função objetivo
Passo 3
Definimos a função de restrição a ser igualada a zero. A equação dada é
Logo, definimos
e impomos
.
Passo 4
O método dos multiplicadores de Lagrange diz que em pontos candidatos a mínimo sujeito à restrição precisamos ter
onde
é o multiplicador e
é o gradiente (vetor das derivadas parciais).
Passo 5
Calculamos as derivadas parciais de
. São simples porque
é soma de quadrados:
Passo 6
Agora calculamos as derivadas parciais de
. Para
:
a derivada de é
; a de
em relação a
é
; a de
é
; os outros termos não dependem de
. Portanto
a derivada de
Passo 7
Para
: somente os termos
e
dependem de
. Derivando obtemos
Passo 8
Para
: a derivada de
em relação a
é
; a de
é
; a de
é
. Assim
Passo 9
Substituindo
e
na condição de Lagrange obtemos o sistema de três equações (uma para cada coordenada) mais a restrição. Explicitamente:
e a equação da superfície