A reação A \rightarrow 4 R é conduzida em um reator batelada isotérmico ( T=27^{\circ} \mathrm{C} ), em fase gasosa, a volume constante e com velocidade de reação elementar. A alimentação é composta de 50 \% de A e 50 \% e inerte. Em 8 (oito) minutos de reação, a pressão total da mistura reacional foi de 8 atm . Além disso, a conversão final ( X=0,99 ) foi alcançada quando a pressão total da mistura reacional foi de 10 atm. Determine:
a) A concentração e a pressão inicial de A . Resp. Cao =0,081 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}; Pao=2 atm
b) A conversão e a concentração de A em 8 (oito) minutos de reação. Resp. X=0,67; Ca =0,027 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}
c) A constante de velocidade de reação. Resp. \mathrm{k}=0,141 / \mathrm{min}
d) O tempo de reação para a conversão máxima alcançada. Resp. \mathrm{t}=32,9 \mathrm{~min}
e) O volume do reator para uma produção diária de R de 2000 \mathrm{~mol} / dia, sabendo-se que o reator gasta 30 (trinta) minutos em atividades pré-operacionais. Considere que a concentração de A na alimentação será a mesma encontrada no item a) e a conversão de 0,99 . Resp. V=283,1 L

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede várias coisas. Vou listar claramente o que é conhecido e o que se pede:
  • Reação: \\ A \rightarrow 4R.
  • Reator batelada, isotérmico ( T=27^\circ\mathrm{C}), fase gasosa, volume constante.
  • Velocidade de reação elementar (ou seja, taxa proporcional à concentração de A: -r_A = k C_A).
  • Alimentação: 50\% de A e 50\% de inerte (em fração molar).
  • Em t=8 min a pressão total da mistura reacional é P=8\\ \mathrm{atm}.
  • A conversão final X=0,99 foi atingida quando a pressão total é P=10\\ \mathrm{atm}.
Pedidos:
a) A concentração inicial de A e a pressão parcial inicial de A.
b) A conversão e a concentração de A em t=8 min.
c) A constante de velocidade k da reação (em \mathrm{min}^{-1}).
d) O tempo necessário para atingir X=0,99.
e) O volume do reator para produzir 2000\\ \mathrm{mol/dia} de R, sabendo que há 30 min de atividades pré-operacionais por batelada, e que a concentração de A na alimentação é igual à encontrada no item (a) e que se usa X=0,99.

Passo 2

Vou relacionar pressão total com conversão. Raciocínio passo a passo (bem mastigado):
  1. Escolho uma base de moles iniciais conveniente. Seja n_{A0} o número de mols iniciais de A. Como a alimentação é 50\% A e 50\% inerte, temos n_{I0}=n_{A0}. Então o número total inicial de mols é
n_{tot,0} = n_{A0} + n_{I0} = 2\,n_{A0}.
  1. Ao ocorrer conversão X (fracionária) de A, sob volume constante:
  • mols de A restantes: n_A = n_{A0}(1-X).
  • mols de R formados: n_R = 4\,n_{A0}\,X.
  • mols de inerte: n_I = n_{I0} = n_{A0} (inertes não mudam).
  1. Soma dos mols no tempo t:
n_{tot} = n_A + n_R + n_I = n_{A0}(1-X) + 4 n_{A0} X + n_{A0} = n_{A0}(2 + 3X).
  1. Em volume e temperatura constantes, pela equação dos gases ideais a pressão total é proporcional ao número total de mols. Assim:
\frac{P}{P_0}=\frac{n_{tot}}{n_{tot,0}}=\frac{n_{A0}(2+3X)}{2 n_{A0}}=\frac{2+3X}{2}.
Portanto a relação útil entre pressão total e conversão é
\boxed{P = P_0\cdot\frac{2+3X}{2}}
onde P_0 é a pressão total inicial.

Passo 3

Item (a): determinar a concentração inicial \,C_{A0} e a pressão parcial inicial P_{A0}.
Usamos a condição quando X=0,99: P=10\\ \mathrm{atm}. Substituindo na relação do passo anterior:
10 = P_0\cdot\frac{2 + 3(0,99)}{2}.
Calcule o fator:
2 + 3(0,99) = 2 + 2,97 = 4,97,
\frac{4,97}{2}=2,485.
Logo
P_0 = \frac{10}{2,485}\approx 4,022\\ \mathrm{atm}.
Arredondando para valores práticos (o enunciado trabalha com números arredondados), tomamos P_0 = 4,00\\ \mathrm{atm}.
Como a alimentação é 50\% A, a pressão parcial inicial de A é
\boxed{P_{A0} = 0,5\,P_0 = 2,00\\ \mathrm{atm}}.
Para a concentração inicial de A usamos a equação dos gases ideais no formato C = P/(R T). Primeiro convertamos a temperatura:
T = 27^\circ\mathrm{C} = 273{,}15 + 27 = 300{,}15\\ \mathrm{K}.
Constante dos gases (em unidades compatíveis L·atm·mol{-1}·K{-1}):
R = 0{,}082057\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
Assim
C_{A0} = \frac{P_{A0}}{R T} = \frac{2{,}00}{0{,}082057 \times 300{,}15}.
Faço as contas:
0{,}082057\times 300{,}15 \approx 24{,}624,
C_{A0}\approx \frac{2{,}00}{24{,}624}\approx 0{,}0812\\ \mathrm{mol/L}.
Arredondando:
\boxed{C_{A0}=0,081\\ \mathrm{mol/L},\quad P_{A0}=2,00\\ \mathrm{atm}.}

Passo 4

Item (b): encontrar a conversão em t=8 min e a concentração de A nesse tempo.
Usamos a relação do passo 2 com P(t=8)=8\\ \mathrm{atm} e P_0=4{,}00\\ \mathrm{atm}:
8 = 4\cdot\frac{2+3X}{2}.
Dividindo ambos os lados por 4:
2 = \frac{2+3X}{2}\quad\Rightarrow\quad 4 = 2 + 3X \quad\Rightarrow\quad 3X = 2.
Logo
\boxed{X(t=8\\ \mathrm{min})=\frac{2}{3}=0{,}6667\approx 0{,}67.}
A concentração de A em t=8 min é simplesmente
C_A(t)=C_{A0}(1-X)=0{,}0812\times\left(1-\tfrac{2}{3}\right)=0{,}0812\times\tfrac{1}{3}.
Calculando:
C_A(t=8)\approx 0{,}0812\times 0{,}3333 \approx 0{,}02707\\ \mathrm{mol/L}.
Arredondando:
\boxed{C_A(t=8\\ \mathrm{min})=0{,}027\\ \mathrm{mol/L}.}

Passo 5

Item (c): determinar a constante de velocidade k.
A reação é elementar unimolecular, então a lei de velocidade (em concentração) é
-r_A = \frac{dC_A}{dt} = k\,C_A.
Isto é uma equação diferencial do tipo primeira ordem simples. Integramos separando variáveis:
\frac{dC_A}{C_A} = -k\,dt.
Integrando de t=0 (onde C_A=C_{A0}) até t (onde C_A=C_A(t)) obtém-se
\ln\!\left(\frac{C_A(t)}{C_{A0}}\right) = -k\,t.
Portanto
k = -\frac{1}{t}\ln\!\left(\frac{C_A(t)}{C_{A0}}\right) = -\frac{1}{t}\ln(1-X).
Usando t=8\\ \mathrm{min} e X=\tfrac{2}{3}:
k = -\frac{1}{8}\ln\!\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{8}(-1{,}098612288) \approx 0{,}13733\\ \mathrm{min^{-1}}.
Arredondando razoavelmente:
\boxed{k = 0{,}137\\ \mathrm{min^{-1}}.}

Passo 6

Item (d): tempo para atingir X=0,99.
Usamos a mesma expressão integrada:
t = -\frac{1}{k}\ln(1-X).
Substituindo X=0,99 e k=0{,}13733\\ \mathrm{min^{-1}}:
t = -\frac{1}{0{,}13733}\ln(0{,}01) = \frac{4{,}605170186}{0{,}13733}\approx 33{,}52\\ \mathrm{min}.
Arredondando:
\boxed{t_{X=0,99}\approx 33{,}5\\ \mathrm{min}.}

Passo 7

Item (e): volume do reator para produzir 2000\\ \mathrm{mol/dia} de R, com 30 min de pré-operação por batelada, usando C_{A0} do item (a) e conversão X=0,99.
Raciocínio e fórmula passo a passo:
  1. Mols de R produzidos por batelada (por volume V de reator):
  • mols iniciais de A no reator: n_{A0}=C_{A0}\,V (onde V em L, C_{A0} em mol/L).
  • mols de R gerados por batelada: n_R^{\text{bat}} = 4\cdot n_{A0}\cdot X = 4\,C_{A0}\,V\,X.
  1. Tempo total por batelada (ciclo): tempo de reação até X=0,99 mais pré-operação:
t_{\text{ciclo}} = t_{reação} + 30\\ \mathrm{min} = 33{,}52 + 30 = 63{,}52\\ \mathrm{min}.çã
  1. Número de bateladas por dia (um dia = 1440 min):
N_{\text{bat/dia}} = \frac{1440}{t_{\text{ciclo}}} = \frac{1440}{63{,}52}.
  1. Produção diária de R (mols/dia) é:
\dot{n}_R = n_R^{\text{bat}}\times N_{\text{bat/dia}} = 4\,C_{A0}\,V\,X\cdot\frac{1440}{t_{\text{ciclo}}}.
Queremos \dot{n}_R = 2000\\ \mathrm{mol/dia}. Isolando V:
V = \frac{2000\cdot t_{\text{ciclo}}}{4\,C_{A0}\,X\cdot 1440}.
  1. Substituindo valores numéricos: C_{A0}=0{,}0812\\ \mathrm{mol/L}, X=0{,}99, t_{\text{ciclo}}=63{,}52\\ \mathrm{min}:
    Calcule o denominador:
4\cdot C_{A0}\cdot X\cdot 1440 = 4\cdot 0{,}0812\cdot 0{,}99\cdot 1440.
Primeiro 4\cdot 0{,}0812 = 0{,}3248.
Depois 0{,}3248\cdot 0{,}99 = 0{,}3216.
Então 0{,}3216\cdot 1440 \approx 463{,}42.
Numerador:
2000\cdot 63{,}52 = 127040.
Logo
V \approx \frac{127040}{463{,}42} \approx 274{,}2\\ \mathrm{L}.
Arredondando:
\boxed{V \approx 274\\ \mathrm{L}.}

Resposta

a) C_{A0}=0,081\\ \mathrm{mol/L};\\ P_{A0}=2,00\\ \mathrm{atm}
b) X(t=8\\ \mathrm{min})=0,67;\\ C_A(t=8\\ \mathrm{min})=0,027\\ \mathrm{mol/L}
c) k=0,137\\ \mathrm{min^{-1}}
d) t_{X=0,99}=33{,}5\\ \mathrm{min}
e) V\approx 274\\ \mathrm{L}

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