Questão 8 ( \mathbf{1 , 0} ponto): Determine o único ponto crítico de
f(x, y)=\left(x^{2}+6 x+9-3 y\right) \mathrm{e}^{-3 y},
e classifique-o como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Atenção: Se o ponto crítico estiver incorreto, a classificação será desconsiderada.
Ponto crítico: \square
Classificação: \square

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar o único ponto crítico de f e classificá-lo como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Informações dadas:
f(x,y)=\bigl(x^{2}+6x+9-3y\bigr)\mathrm{e}^{-3y}.
O objetivo é resolver \nabla f(x,y)=\mathbf{0} para achar o(s) ponto(s) crítico(s) e depois usar o teste das derivadas segundas para classificar o ponto encontrado.

Passo 2

Estratégia (explicada rapidamente): para funções de duas variáveis, um ponto crítico satisfaz \dfrac{\partial f}{\partial x}=0 e \dfrac{\partial f}{\partial y}=0. Vou calcular as derivadas parciais usando as regras de derivação (derivada parcial trata a outra variável como constante; usar a regra do produto e a regra da cadeia quando necessário). Depois resolvo o sistema formado por essas duas equações.

Passo 3

Simplificação útil antes de derivar: note que
x^{2}+6x+9=(x+3)^{2},
então posso reescrever
f(x,y)=\bigl((x+3)^{2}-3y\bigr)\mathrm{e}^{-3y}.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}. Como \mathrm{e}^{-3y} é constante em relação a x,
\frac{\partial f}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}\bigl((x+3)^{2}\bigr)\mathrm{e}^{-3y} = 2(x+3)\,\mathrm{e}^{-3y}.
Para ser ponto crítico precisamos de \dfrac{\partial f}{\partial x}=0, logo
2(x+3)\,\mathrm{e}^{-3y}=0.
Como \mathrm{e}^{-3y}>0 para todo y, isso implica
x+3=0\quad\Rightarrow\quad x=-3.

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y}. Uso a regra do produto: se u=(x+3)^{2}-3y e v=\mathrm{e}^{-3y}, então
\frac{\partial f}{\partial y}=u_y v + u v_y.
Aqui u_y=-3 e v_y=-3\mathrm{e}^{-3y}. Portanto
\frac{\partial f}{\partial y} = (-3)\mathrm{e}^{-3y} + \bigl((x+3)^{2}-3y\bigr)(-3)\mathrm{e}^{-3y} = -3\mathrm{e}^{-3y}\bigl(1+(x+3)^{2}-3y\bigr).
Para ponto crítico precisamos de \dfrac{\partial f}{\partial y}=0. Como -3\mathrm{e}^{-3y}\neq 0, resulta
1+(x+3)^{2}-3y=0.

Passo 6

Solução do sistema usando x=-3 (do Passo 4) dentro da equação do Passo 5:
substituindo x=-3 temos (x+3)^{2}=0, então
1+0-3y=0 \quad\Rightarrow\quad -3y=-1 \quad\Rightarrow\quad y=\frac{1}{3}.
Logo o único ponto crítico é \bigl(-3,\tfrac{1}{3}\bigr).

Passo 7

Agora vamos classificar o ponto crítico usando o teste das derivadas segundas. Regra (explicação didática): calcule as derivadas segundas \,f_{xx},f_{xy},f_{yy}\, no ponto crítico. Defina o discriminante
D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^{2}.
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então há um mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então há um máximo local.
  • Se D<0 então é ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.

Passo 8

Calcule as derivadas segundas gerais:
Já temos f_x=2(x+3)\mathrm{e}^{-3y}. Diferenciando em relação a x:
f_{xx}=2\mathrm{e}^{-3y}.
Diferenciando f_x em relação a y (regra do produto):
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2(x+3)\mathrm{e}^{-3y}\bigr) =2(x+3)(-3)\mathrm{e}^{-3y}=-6(x+3)\mathrm{e}^{-3y}.
Para f_{yy} é prático derivar a expressão já obtida para f_{y}:
f_{y}=-3\mathrm{e}^{-3y}\bigl(1+(x+3)^{2}-3y\bigr).
Trate f_y=A(y)B(x,y) com A(y)=-3\mathrm{e}^{-3y} e B=(x+3)^{2}+1-3y. Então
A'(y)=9\mathrm{e}^{-3y},\qquad B_y=-3.
Logo
f_{yy}=A'B + AB_y = 9\mathrm{e}^{-3y}\bigl((x+3)^{2}+1-3y\bigr) + \bigl(-3\mathrm{e}^{-3y}\bigr)(-3).
Agrupando os termos:
f_{yy}=9\mathrm{e}^{-3y}\bigl((x+3)^{2}+1-3y\bigr) + 9\mathrm{e}^{-3y} =9\mathrm{e}^{-3y}\bigl((x+3)^{2}+2-3y\bigr).

Passo 9

Avaliação das derivadas segundas no ponto crítico \bigl(-3,\tfrac{1}{3}\bigr):
Calcule \mathrm{e}^{-3y} em y=\tfrac{1}{3}: \mathrm{e}^{-3\cdot\frac{1}{3}}=\mathrm{e}^{-1}.
Portanto
f_{xx}\!\left(-3,\tfrac{1}{3}\right)=2\mathrm{e}^{-1},
f_{xy}\!\left(-3,\tfrac{1}{3}\right)=-6(x+3)\mathrm{e}^{-1}=-6\cdot 0\cdot \mathrm{e}^{-1}=0,
f_{yy}\!\left(-3,\tfrac{1}{3}\right)=9\mathrm{e}^{-1}\bigl(0+2-3\cdot\tfrac{1}{3}\bigr) =9\mathrm{e}^{-1}\bigl(2-1\bigr)=9\mathrm{e}^{-1}.
Calcule o discriminante:
D = f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2} = \bigl(2\mathrm{e}^{-1}\bigr)\bigl(9\mathrm{e}^{-1}\bigr)-0 =18\mathrm{e}^{-2}>0.
Como D>0 e f_{xx}\!\left(-3,\tfrac{1}{3}\right)=2\mathrm{e}^{-1}>0, pelo teste das derivadas segundas o ponto é um mínimo local.

Resposta

Ponto crítico: \left(-3,\tfrac{1}{3}\right)
Classificação: mínimo local

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