Questão 8 (
ponto): Determine o único ponto crítico de
e classifique-o como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Atenção: Se o ponto crítico estiver incorreto, a classificação será desconsiderada.
Ponto crítico:
Classificação:
Atenção: Se o ponto crítico estiver incorreto, a classificação será desconsiderada.
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar o único ponto crítico de
e classificá-lo como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Informações dadas:
O objetivo é resolver
para achar o(s) ponto(s) crítico(s) e depois usar o teste das derivadas segundas para classificar o ponto encontrado.
Passo 2
Estratégia (explicada rapidamente): para funções de duas variáveis, um ponto crítico satisfaz
e
. Vou calcular as derivadas parciais usando as regras de derivação (derivada parcial trata a outra variável como constante; usar a regra do produto e a regra da cadeia quando necessário). Depois resolvo o sistema formado por essas duas equações.
Passo 3
Simplificação útil antes de derivar: note que
então posso reescrever
Passo 4
Cálculo de
. Como
é constante em relação a
,
Para ser ponto crítico precisamos de
, logo
Como
para todo
, isso implica
Passo 5
Cálculo de
. Uso a regra do produto: se
e
, então
Aqui
e
. Portanto
Para ponto crítico precisamos de
. Como
, resulta
Passo 6
Solução do sistema usando
(do Passo 4) dentro da equação do Passo 5:
substituindo temos
, então
substituindo
Logo o único ponto crítico é
.
Passo 7
Agora vamos classificar o ponto crítico usando o teste das derivadas segundas. Regra (explicação didática): calcule as derivadas segundas
no ponto crítico. Defina o discriminante
- Se
e então há um mínimo local. - Se
e então há um máximo local. - Se
então é ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Passo 8
Calcule as derivadas segundas gerais:
Já temos
. Diferenciando em relação a
:
Diferenciando
em relação a
(regra do produto):
Para
é prático derivar a expressão já obtida para
:
Trate
com
e
. Então
Logo
Agrupando os termos:
Passo 9
Avaliação das derivadas segundas no ponto crítico
:
Calcule
em
:
.
Portanto
Calcule o discriminante:
Como
e
, pelo teste das derivadas segundas o ponto é um mínimo local.
Resposta
Ponto crítico:
Classificação: mínimo local