Seja A é uma matriz de ordem n.
Mostre que se A^{2}+2 A+I_{n}=0 então A é inversível.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz quadrada de ordem n e satisfaz
A^2 + 2A + I_n = 0.
Queremos mostrar que existe uma matriz B tal que
AB = BA = I_n,
ou seja, que A é invertível.

Passo 2

Da relação \,A^2+2A+I_n=0 segue
A(A+2I_n) = -I_n.
Multiplicando ambos os lados por -1 obtemos
A(-A - 2I_n) = I_n.
Como -A - 2I_n é um polinômio em A, ele comuta com A, e portanto
(-A - 2I_n)A = -A^2 - 2A = I_n.

Passo 3

Isso mostra que a matriz
B = -A - 2I_n
satisfaz AB = I_n e BA = I_n. Logo B é o inverso de A e, portanto, A é invertível.

Resposta

A^{-1} = -A - 2I_n.

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