Questão 10.
Qual é o menor raio de uma pista plana (sem inclinação) ao redor da qual uma ciclista pode viajar se sua velocidade for de
e a distância entre os pneus e a pista for de
?
Passo 1
O enunciado pede o menor raio de uma pista plana (sem inclinação) ao redor da qual uma ciclista pode viajar, dadas duas informações:
- a velocidade da ciclista:
; - uma distância informada de
, descrita no enunciado como “distância entre os pneus e a pista”.
O que o problema quer é o menor raio
da trajetória circular que a ciclista pode fazer sem perder o equilíbrio (isto é, sem tombar para fora). Para fazer isso precisamos relacionar a inclinação que a ciclista deve ter para equilibrar a força centrípeta com a gravidade e, por geometria, ligar essa inclinação com as dimensões fornecidas.
Observação importante sobre o dado
: o enunciado original está ambíguo na expressão “distância entre os pneus e a pista”. Para poder resolver com um único número (como o enunciado fornece) é razoável interpretar esse comprimento como a altura do centro de massa da ciclista+bicicleta em relação ao solo, ou seja, a distância vertical entre o centro de massa e a pista. Vou adotar essa interpretação (não tenho outra medida no enunciado). Se essa interpretação estiver incorreta o resultado muda; se você souber que o
se refere a outra grandeza, me avise que eu refaço com a medida correta.
Resumo dos dados (assumindo que o enunciado fornece a altura do centro de massa):
- velocidade
; - altura do centro de massa
.
O objetivo: determinar o menor raio.
Passo 2
Converter a velocidade para o SI (metros por segundo). Explico:
. Então:
Calculemos esse valor numérico:
Passo 3
Entender a física: quando a ciclista faz uma curva em trajetória circular com velocidade
e raio
, é necessária uma força centrípeta horizontal de intensidade
(onde
é a massa). As forças que atuam são o peso
para baixo e a reação do chão/fricção na direção que resulta da inclinação da bicicleta. Em equilíbrio (sem tombar e sem aceleração vertical), a resultante dessas forças (peso vertical para baixo e força centrípeta horizontal para dentro) deve passar pelo ponto de contato com o solo.
Definimos o ângulo de inclinação
da bicicleta (ângulo entre a vertical e a direção do corpo/bicicleta). A relação fundamental entre o ângulo de inclinação e a razão das forças é:
onde
é a aceleração da gravidade. Essa é uma fórmula central: ela diz que quanto maior a velocidade ou menor o raio, maior a inclinação necessária.
Passo 4
Relacionar a inclinação
com a geometria (altura do centro de massa). Pelo nosso modelo geométrico simples, a linha de ação da resultante (a soma de
e
) forma um ângulo
com a vertical, e a tangente desse ângulo também pode ser vista como a razão entre o deslocamento horizontal da linha de ação no solo e a altura
do centro de massa. Se, no caso limite em que a ciclista está prestes a perder o equilíbrio, esse deslocamento horizontal é igual à própria altura
(situação simples adotada para fechar o problema com a única medida dada), então
Essa hipótese corresponde a
. (Reafirmando: adotei essa hipótese geométrica simples para poder usar o único dado do enunciado; se o enunciado quisesse outra geometria, precisaríamos desse dado adicional.)
Combinando as duas expressões para
:
Com a hipótese
obtemos
Passo 5
Substituir os valores numéricos. Usando
calculada e
,
Portanto
Passo 6
Interpretação e incentivo: com as hipóteses adotadas (particularmente a interpretação de
e a hipótese geométrica que levou a
), o menor raio possível é cerca de
. Se queres, posso refazer o cálculo usando outra interpretação do
(por exemplo, se esse valor for a largura entre os pneus, ou a meia-largura, ou a altura do centro de massa diferente), explicando passo a passo como a fórmula muda — diz qual é a interpretação correta que eu refaço e a gente deixa isso redondinho para a prova.