Questão 10.

Qual é o menor raio de uma pista plana (sem inclinação) ao redor da qual uma ciclista pode viajar se sua velocidade for de 29 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e a distância entre os pneus e a pista for de 0,32 m ?

Passo 1

O enunciado pede o menor raio de uma pista plana (sem inclinação) ao redor da qual uma ciclista pode viajar, dadas duas informações:
  • a velocidade da ciclista: 29\\ \mathrm{km/h};
  • uma distância informada de 0,32\\ \mathrm{m}, descrita no enunciado como “distância entre os pneus e a pista”.
O que o problema quer é o menor raio R da trajetória circular que a ciclista pode fazer sem perder o equilíbrio (isto é, sem tombar para fora). Para fazer isso precisamos relacionar a inclinação que a ciclista deve ter para equilibrar a força centrípeta com a gravidade e, por geometria, ligar essa inclinação com as dimensões fornecidas.
Observação importante sobre o dado 0,32\\ \mathrm{m}: o enunciado original está ambíguo na expressão “distância entre os pneus e a pista”. Para poder resolver com um único número (como o enunciado fornece) é razoável interpretar esse comprimento como a altura do centro de massa da ciclista+bicicleta em relação ao solo, ou seja, a distância vertical entre o centro de massa e a pista. Vou adotar essa interpretação (não tenho outra medida no enunciado). Se essa interpretação estiver incorreta o resultado muda; se você souber que o 0,32\\ \mathrm{m} se refere a outra grandeza, me avise que eu refaço com a medida correta.
Resumo dos dados (assumindo que o enunciado fornece a altura do centro de massa):
  • velocidade v = 29\\ \mathrm{km/h};
  • altura do centro de massa h = 0,32\\ \mathrm{m}.
    O objetivo: determinar o menor raio R.

Passo 2

Converter a velocidade para o SI (metros por segundo). Explico: 1\\ \mathrm{km/h} = \dfrac{1000\\ \mathrm{m}}{3600\\ \mathrm{s}} = \dfrac{1}{3{,}6}\\ \mathrm{m/s}. Então:
v = 29\\ \mathrm{km/h} = \frac{29}{3{,}6}\\ \mathrm{m/s}.
Calculemos esse valor numérico:
v = \frac{29}{3{,}6}\\ \mathrm{m/s}\approx 8,055555\ldots\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Entender a física: quando a ciclista faz uma curva em trajetória circular com velocidade v e raio R, é necessária uma força centrípeta horizontal de intensidade F_c = m\displaystyle\frac{v^2}{R} (onde m é a massa). As forças que atuam são o peso mg para baixo e a reação do chão/fricção na direção que resulta da inclinação da bicicleta. Em equilíbrio (sem tombar e sem aceleração vertical), a resultante dessas forças (peso vertical para baixo e força centrípeta horizontal para dentro) deve passar pelo ponto de contato com o solo.
Definimos o ângulo de inclinação \varphi da bicicleta (ângulo entre a vertical e a direção do corpo/bicicleta). A relação fundamental entre o ângulo de inclinação e a razão das forças é:
\tan(\varphi)=\frac{F_c}{mg}=\frac{m\frac{v^2}{R}}{mg}=\frac{v^2}{gR},
onde g é a aceleração da gravidade. Essa é uma fórmula central: ela diz que quanto maior a velocidade ou menor o raio, maior a inclinação necessária.

Passo 4

Relacionar a inclinação \varphi com a geometria (altura do centro de massa). Pelo nosso modelo geométrico simples, a linha de ação da resultante (a soma de mg e F_c) forma um ângulo \varphi com a vertical, e a tangente desse ângulo também pode ser vista como a razão entre o deslocamento horizontal da linha de ação no solo e a altura h do centro de massa. Se, no caso limite em que a ciclista está prestes a perder o equilíbrio, esse deslocamento horizontal é igual à própria altura h (situação simples adotada para fechar o problema com a única medida dada), então
\tan(\varphi)=1.
Essa hipótese corresponde a \varphi=45^\circ. (Reafirmando: adotei essa hipótese geométrica simples para poder usar o único dado do enunciado; se o enunciado quisesse outra geometria, precisaríamos desse dado adicional.)
Combinando as duas expressões para \tan(\varphi):
\frac{v^2}{gR}=\tan(\varphi).
Com a hipótese \tan(\varphi)=1 obtemos
\frac{v^2}{gR}=1 \quad\Rightarrow\quad R=\frac{v^2}{g}.

Passo 5

Substituir os valores numéricos. Usando v calculada e g\approx 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2},
v^2 \approx (8{,}055555\ldots)^2 \approx 64{,}893\\ \mathrm{m^2/s^2}.
Portanto
R=\frac{v^2}{g}\approx\frac{64{,}893}{9{,}8}\\ \mathrm{m}\approx 6{,}62\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Interpretação e incentivo: com as hipóteses adotadas (particularmente a interpretação de 0,32\\ \mathrm{m} e a hipótese geométrica que levou a \tan\varphi=1), o menor raio possível é cerca de 6{,}62\\ \mathrm{m}. Se queres, posso refazer o cálculo usando outra interpretação do 0,32\\ \mathrm{m} (por exemplo, se esse valor for a largura entre os pneus, ou a meia-largura, ou a altura do centro de massa diferente), explicando passo a passo como a fórmula muda — diz qual é a interpretação correta que eu refaço e a gente deixa isso redondinho para a prova.

Resposta

R\approx 6{,}62\\ \mathrm{m}

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