O enunciado pede para mostrarmos que, em um triângulo ABC inscrito num semicírculo de raio r com BC como diâmetro, a área vale
A = \frac{\overline{AB}\,\overline{BC}\,\overline{AC}}{4r}.
Para resolver, usaremos o Teorema de Thales (que garante que o ângulo em A é reto) e a fórmula da área de um triângulo retângulo.
Passo 2
Como BC é diâmetro do semicírculo, o Teorema de Thales diz que o ângulo em A é reto. Logo ABC é um triângulo retângulo em A, cujos catetos são \overline{AB} e \overline{AC}. A área de um triângulo retângulo é
A = \frac{\text{produto dos catetos}}{2}
portanto
A = \frac{\overline{AB}\,\overline{AC}}{2}.
Passo 3
Como BC é o diâmetro do semicírculo de raio r, temos \overline{BC}=2r. Substituindo em
\frac{\overline{AB}\,\overline{AC}}{2}
podemos escrever
A = \frac{\overline{AB}\,\overline{AC}}{2} = \frac{\overline{AB}\,\overline{AC}\,\overline{BC}}{2\cdot\overline{BC}} = \frac{\overline{AB}\,\overline{AC}\,\overline{BC}}{2\cdot(2r)} = \frac{\overline{AB}\,\overline{BC}\,\overline{AC}}{4r}.
Resposta
A = \frac{\overline{AB}\,\overline{BC}\,\overline{AC}}{4r}.