Questão 7 Considere um triângulo A B C inscrito em um semicírculo de raio r, tal que B C é diâmetro. Mostre que a área de A B C é
A=\frac{\overline{A B} \overline{B C} \overline{A C}}{4 r}

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, em um triângulo ABC inscrito num semicírculo de raio r com BC como diâmetro, a área vale
A = \frac{\overline{AB}\,\overline{BC}\,\overline{AC}}{4r}.
Para resolver, usaremos o Teorema de Thales (que garante que o ângulo em A é reto) e a fórmula da área de um triângulo retângulo.

Passo 2

Como BC é diâmetro do semicírculo, o Teorema de Thales diz que o ângulo em A é reto. Logo ABC é um triângulo retângulo em A, cujos catetos são \overline{AB} e \overline{AC}. A área de um triângulo retângulo é
A = \frac{\text{produto dos catetos}}{2}
portanto
A = \frac{\overline{AB}\,\overline{AC}}{2}.

Passo 3

Como BC é o diâmetro do semicírculo de raio r, temos \overline{BC}=2r. Substituindo em
\frac{\overline{AB}\,\overline{AC}}{2}
podemos escrever
A = \frac{\overline{AB}\,\overline{AC}}{2} = \frac{\overline{AB}\,\overline{AC}\,\overline{BC}}{2\cdot\overline{BC}} = \frac{\overline{AB}\,\overline{AC}\,\overline{BC}}{2\cdot(2r)} = \frac{\overline{AB}\,\overline{BC}\,\overline{AC}}{4r}.

Resposta

A = \frac{\overline{AB}\,\overline{BC}\,\overline{AC}}{4r}.

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