Questão 8 Considere um trapézio de bases A B e C D, sendo \overline{A B}>\overline{C D} e altura h. Mostre que a diferença das áreas dos triângulos A B D e D C B é \frac{(\overline{A B}-\overline{C D}) h}{2}.

Passo 1

O enunciado dá um trapézio com bases paralelas \overline{AB} e \overline{CD}, sendo \overline{AB}>\overline{CD}, e altura h. Pede-se a diferença entre as áreas dos triângulos \triangle ABD e \triangle DCB. O que vamos usar é a fórmula da área de um triângulo em função de uma base e da altura correspondente:
\text{Área} = \frac{\text{base}\times\text{altura}}{2}.Á

Passo 2

Para o triângulo \triangle ABD, escolhemos como base o segmento \overline{AB}. A altura relativa a essa base é a distância de D até a reta que contém AB, ou seja, exatamente h. Assim,
\text{Área}(\triangle ABD) = \frac{\overline{AB}\,\cdot h}{2}.Á

Passo 3

Para o triângulo \triangle DCB, escolhemos como base o segmento \overline{CD}. A altura relativa a essa base é a distância de B até a reta que contém CD, também igual a h, pois AB\parallel CD. Logo,
\text{Área}(\triangle DCB) = \frac{\overline{CD}\,\cdot h}{2}.Á

Passo 4

Agora basta subtrair as duas áreas:
\text{Área}(\triangle ABD) -\text{Área}(\triangle DCB) = \frac{\overline{AB}\,h}{2} -\frac{\overline{CD}\,h}{2} = \frac{(\overline{AB}-\overline{CD})\,h}{2}.ÁÁ

Resposta

A diferença das áreas é \displaystyle \frac{(\overline{AB}-\overline{CD})\,h}{2}.

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