Questão 6 Não respondido Vale 1,00 ponto(s).
Uma pequena esfera carregada positivamente tem massa de \mathrm{m}=7,14 \mathrm{e}-04 \mathrm{~kg} e cai do repouso no vácuo de uma altura de \mathrm{h}=6,28 \mathrm{~m} em um campo elétrico vertical uniforme com magnitude de \mathrm{E}=1,29 \mathrm{e}+04 \mathrm{~N} / \mathrm{C}. A esfera atinge o solo a uma velocidade de \mathrm{v}=29,12 \mathrm{m} / \mathrm{s}. Determine a carga da esfera. Use a aceleração da gravidade como 9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e Dê a resposta em C .

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a carga da esfera:
m = 7,14\times10^{-4}\\ \mathrm{kg}
h = 6,28\\ \mathrm{m}
E = 1,29\times10^{4}\\ \mathrm{N/C}
v = 29,12\\ \mathrm{m/s}
g = 9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}
A pergunta é: qual é a carga elétrica q da esfera, em coulombs ( \mathrm{C})?

Passo 2

Primeiro precisamos entender quais energias/forças atuam enquanto a esfera cai. Vou explicar com calma, passo a passo, como transformar isso em uma equação que dá q.
Quando um objeto cai, a energia potencial gravitacional que ele perde pode virar energia cinética. Além disso, se há um campo elétrico vertical, a força elétrica sobre a carga também realiza trabalho durante a queda, contribuindo (ou subtraindo) energia do sistema. A forma prática de lidar com isso é usar o Teorema Trabalho-Energia: a soma dos trabalhos das forças externas iguais à variação da energia cinética. Como a esfera parte do repouso, a energia cinética inicial é zero.
Vou escolher a convenção: tomo o deslocamento \Delta y = h na direção para baixo (positivo). Observação importante: o valor dado de v (29,12 m/s) é muito maior do que a velocidade de queda livre sem campo elétrico (que seria \sqrt{2gh}\approx11{,}1\\ \mathrm{m/s}). Isso indica que a força elétrica está ajudando a acelerar a esfera para baixo — ou seja, para uma carga positiva isso corresponde a um campo elétrico apontando para baixo. Por isso o trabalho da força elétrica aumenta a energia cinética.

Passo 3

Agora vamos escrever as expressões dos trabalhos das forças envolvidas, sempre com as definições explícitas:
  • Trabalho da gravidade ao deslocar-se para baixo por h: W_g = m g h. (Essa quantidade é positiva na nossa convenção porque a força peso e o deslocamento têm a mesma direção.)
  • Força elétrica sobre carga positiva em campo E para baixo: F_E = qE (para campo apontando para baixo). Trabalho da força elétrica ao deslocar-se h para baixo: W_E = F_E h = q E h.
  • Variação da energia cinética: \Delta K = K_{\text{final}} - K_{\text{inicial}} = \tfrac{1}{2} m v^{2} - 0.
Pelo Teorema Trabalho-Energia:
W_g + W_E = \Delta K.

Passo 4

Substituindo as expressões:
m g h + q E h = \tfrac{1}{2} m v^{2}.
Aqui cada símbolo significa:
  • m: massa da esfera (em kg),
  • g: aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^{2}}),
  • h: altura da queda (em m),
  • q: carga da esfera (em C) — é o que queremos,
  • E: intensidade do campo elétrico (em \mathrm{N/C}),
  • v: velocidade ao atingir o solo (em \mathrm{m/s}).

Passo 5

Isolamos q na equação:
q E h = \tfrac{1}{2} m v^{2} - m g h
\Rightarrow q = \frac{\tfrac{1}{2} m v^{2} - m g h}{E h}.
Essa fórmula tem sentido físico: o numerador é a energia extra (além da fornecida pela gravidade) necessária para atingir a velocidade observada; dividir por E h converte essa energia em carga (pois E h tem unidades de J/C).

Passo 6

Agora substituímos os valores numéricos com contas detalhadas (tudo em SI):
Calcule \tfrac{1}{2} m v^{2}:
v^{2} = (29{,}12)^{2} = 847{,}9744
\tfrac{1}{2} m v^{2} = \tfrac{1}{2}\times 7{,}14\times10^{-4}\times 847{,}9744
\tfrac{1}{2} m v^{2} = 7{,}14\times10^{-4}\times 423{,}9872 = 0{,}3027258608\\ \mathrm{J}
Calcule m g h:
g h = 9{,}8\times 6{,}28 = 61{,}544
m g h = 7{,}14\times10^{-4}\times 61{,}544 = 0{,}043942416\\ \mathrm{J}
Subtrai-se para obter o numerador:
\tfrac{1}{2} m v^{2} - m g h = 0{,}3027258608 - 0{,}043942416 = 0{,}2587834448\\ \mathrm{J}
Calcule o denominador E h:
E h = 1{,}29\times10^{4}\times 6{,}28 = 8{,}1012\times10^{4} = 81\,012\\ \mathrm{N\cdot m/C} = 81\,012\\ \mathrm{J/C}
Finalmente:
q = \frac{0{,}2587834448}{81\,012} \\ \mathrm{C}
Fazendo a divisão (detalhes aritméticos feitos acima) obtemos, com arredondamento razoável,
q \approx 3{,}19\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.

Resposta

3{,}19\times10^{-6}\\ \mathrm{C}

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