Questão 4.10 Uma partícula de massa m está sujeita a um potencial central V(r)=-\frac{k}{r}. Determinar as equações de movimento em coordenadas polares.

Passo 1

O enunciado dá uma partícula de massa m sujeita a um potencial central
V(r) = -\frac{k}{r},
onde r é a distância da partícula à origem e k é uma constante (>0 para atração). A pergunta é: determinar as equações de movimento em coordenadas polares.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Massa da partícula: m.
  • Potencial central: V(r) = -\dfrac{k}{r}.
  • Queremos as equações que governam r(t) e \theta(t) em coordenadas polares (r,\theta).

Passo 2

Primeiro preciso escrever a velocidade e a energia cinética em coordenadas polares. A posição no plano pode ser escrita como \vec{r}=r\hat{e}_r, onde \hat{e}_r é o versor radial. Ao derivar em relação ao tempo usamos que os versores mudam com \theta:
\dot{\hat{e}}_r=\dot{\theta}\,\hat{e}_\theta,\qquad \dot{\hat{e}}_\theta=-\dot{\theta}\,\hat{e}_r.
Diferenciando \vec{r}:
\dot{\vec{r}}=\dot{r}\,\hat{e}_r + r\dot{\theta}\,\hat{e}_\theta.
Logo o quadrado da velocidade é
\dot{\vec{r}}\cdot\dot{\vec{r}}=\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2.
A energia cinética é, portanto,
T=\frac{1}{2}m\big(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2\big).

Passo 3

Vou usar o formalismo lagrangiano (é o jeito mais direto para coordenadas generalizadas). A Lagrangiana é
L = T - V = \frac{1}{2}m\big(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2\big) -\big(-\frac{k}{r}\big) = \frac{1}{2}m\big(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2\big) + \frac{k}{r}.
Agora aplico a equação de Euler–Lagrange para a coordenada r:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}\right)-\frac{\partial L}{\partial r}=0.
Calculo os termos separadamente:
\frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = m\dot{r}\quad\Rightarrow\quad \frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}\right)=m\ddot{r}.
\frac{\partial L}{\partial r} = \frac{\partial}{\partial r}\!\left(\frac{1}{2}m r^2\dot{\theta}^2 + \frac{k}{r}\right) = m r\dot{\theta}^2 - \frac{k}{r^2}.
Substituindo em Euler–Lagrange:
m\ddot{r} - \big(m r\dot{\theta}^2 - \frac{k}{r^2}\big)=0.
Arrumando,
m\ddot{r} = m r\dot{\theta}^2 - \frac{k}{r^2}.
Essa é a equação radial: a aceleração radial tem contribuição centrífuga m r\dot{\theta}^2 e a força radial -dV/dr que aqui é -\dfrac{d}{dr}\big(-\dfrac{k}{r}\big)=-\dfrac{k}{r^2} com sinal adequado (veja interpretação abaixo).

Passo 4

Agora aplico Euler–Lagrange para a coordenada \theta:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}\right)-\frac{\partial L}{\partial \theta}=0.
Observação: L não depende explicitamente de \theta (potencial central), logo \partial L/\partial\theta=0. Então
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}\right)=0,
o que implica que \dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} é constante. Calculo:
\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = m r^2\dot{\theta}.
Portanto
\frac{d}{dt}\big(m r^2\dot{\theta}\big)=0 \quad\Rightarrow\quad m r^2\dot{\theta}=\ell,
onde \ell é uma constante (momento angular da partícula). Daí
\dot{\theta}=\frac{\ell}{m r^2}.
Interpretação física: como o potencial é central ( V depende só de r), o momento angular é conservado.

Passo 5

É útil escrever também a conservação de energia (primeira integral), que surge porque L não depende explicitamente do tempo. A energia total é
E=T+V=\frac{1}{2}m\big(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2\big) - \frac{k}{r}.
Substituindo \dot{\theta}=\dfrac{\ell}{m r^2} obtemos a equação unidimensional para r(t):
\frac{1}{2}m\dot{r}^2 + V_{\mathrm{ef}}(r)=E, \quad\text{onde}\quad V_{\mathrm{ef}}(r)=\frac{\ell^2}{2m r^2} - \frac{k}{r}.
Aqui V_{\mathrm{ef}}(r) é o potencial efetivo: a primeira parcela é a barreira centrífuga e a segunda é o potencial de atração. Isso transforma o problema em um movimento unidimensional em r sob V_{\mathrm{ef}}.

Passo 6

Resumo final e breve comentário de uso em provas: as equações de movimento em coordenadas polares são a equação radial de segunda ordem e a conservação do momento angular. Em provas, normalmente:
  • escreve-se a energia cinética T=\frac12 m(\dot r^2+r^2\dot\theta^2),
  • monta-se L=T-V,
  • aplica-se Euler–Lagrange para r e \theta,
  • usa-se a constância de \ell=m r^2\dot\theta para eliminar \dot\theta quando conveniente e reduzir a equação radial a um problema em uma variável com o potencial efetivo.
Boa! Essas são as equações que precisas decorar e saber manipular na prova — se quiser, eu mostro também como obter a equação da órbita r(\theta) (a famosa solução em cônicas) a partir daqui.

Resposta

m\ddot{r} = m r\dot{\theta}^2 - \frac{k}{r^2}
\frac{d}{dt}\big(m r^2\dot{\theta}\big)=0\quad\Rightarrow\quad m r^2\dot{\theta}=\ell\\ \text{(constante)}
E=\frac{1}{2}m\big(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2\big)-\frac{k}{r}

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