Questão 4.10 Uma partícula de massa
está sujeita a um potencial central
. Determinar as equações de movimento em coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado dá uma partícula de massa
sujeita a um potencial central
onde
é a distância da partícula à origem e
é uma constante (>0 para atração). A pergunta é: determinar as equações de movimento em coordenadas polares.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Massa da partícula:
. - Potencial central:
. - Queremos as equações que governam
e em coordenadas polares .
Passo 2
Primeiro preciso escrever a velocidade e a energia cinética em coordenadas polares. A posição no plano pode ser escrita como
, onde
é o versor radial. Ao derivar em relação ao tempo usamos que os versores mudam com
:
Diferenciando
:
Logo o quadrado da velocidade é
A energia cinética é, portanto,
Passo 3
Vou usar o formalismo lagrangiano (é o jeito mais direto para coordenadas generalizadas). A Lagrangiana é
Agora aplico a equação de Euler–Lagrange para a coordenada
:
Calculo os termos separadamente:
Substituindo em Euler–Lagrange:
Arrumando,
Essa é a equação radial: a aceleração radial tem contribuição centrífuga
e a força radial
que aqui é
com sinal adequado (veja interpretação abaixo).
Passo 4
Agora aplico Euler–Lagrange para a coordenada
:
Observação:
não depende explicitamente de
(potencial central), logo
. Então
o que implica que
é constante. Calculo:
Portanto
onde
é uma constante (momento angular da partícula). Daí
Interpretação física: como o potencial é central (
depende só de
), o momento angular é conservado.
Passo 5
É útil escrever também a conservação de energia (primeira integral), que surge porque
não depende explicitamente do tempo. A energia total é
Substituindo
obtemos a equação unidimensional para
:
Aqui
é o potencial efetivo: a primeira parcela é a barreira centrífuga e a segunda é o potencial de atração. Isso transforma o problema em um movimento unidimensional em
sob
.
Passo 6
Resumo final e breve comentário de uso em provas: as equações de movimento em coordenadas polares são a equação radial de segunda ordem e a conservação do momento angular. Em provas, normalmente:
- escreve-se a energia cinética
, - monta-se
, - aplica-se Euler–Lagrange para
e , - usa-se a constância de
para eliminar quando conveniente e reduzir a equação radial a um problema em uma variável com o potencial efetivo.
Boa! Essas são as equações que precisas decorar e saber manipular na prova — se quiser, eu mostro também como obter a equação da órbita
(a famosa solução em cônicas) a partir daqui.