Questão 2 ( \mathbf{1 , 0} ponto): Um corpo A de massa m_{A}=1,0 \mathrm{~kg} colide com um corpo B de massa desconhecida m_{B} num plano horizontal e sem atrito. As velocidades dos corpos A e B antes da colisão são \vec{v}_{A}^{i}=20,0 \hat{\imath}+10,0 \hat{\jmath}(\mathrm{~m} / \mathrm{s}) e \vec{v}_{B}^{i}=5,0 \hat{\imath}-15,0 \hat{\jmath}(\mathrm{~m} / \mathrm{s}), respectivamente. Após a colisão, \vec{v}_{A}^{f}=10,0 \hat{\imath}-10,0 \hat{\jmath}(\mathrm{~m} / \mathrm{s}) e \vec{v}_{B}^{f}=10,0 \hat{\imath}-5,0 \hat{\jmath}(\mathrm{~m} / \mathrm{s}). O valor de m_{B} é:
(a) m_{B}=7,0 \mathrm{~kg}
(b) m_{B}=5,5 \mathrm{~kg}
(c) m_{B}=4,5 \mathrm{~kg}
(d) m_{B}=2,0 \mathrm{~kg}
(e) m_{B}=1,0 \mathrm{~kg}
(f) m_{B}=0,5 \mathrm{~kg}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar o valor de m_{B} (massa do corpo B) usando a informação da colisão.
Informações dadas (peguei todas do enunciado):
  • Massa do corpo A: m_{A}=1,0\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidades iniciais:
    • \vec{v}_{A}^{i}=20,0\,\hat{\imath}+10,0\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{(m/s)}.
    • \vec{v}_{B}^{i}=5,0\,\hat{\imath}-15,0\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{(m/s)}.
  • Velocidades finais:
    • \vec{v}_{A}^{f}=10,0\,\hat{\imath}-10,0\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{(m/s)}.
    • \vec{v}_{B}^{f}=10,0\,\hat{\imath}-5,0\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{(m/s)}.
  • O choque ocorre num plano horizontal sem atrito (logo, não há forças externas horizontais que mudem o momento linear do sistema A+B durante a colisão).

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicação didática):
  • Quantidade a usar: momento linear (ou quantidade de movimento) de um corpo, definido por \vec{p}=m\vec{v}. Aqui m é a massa do corpo (em kg) e \vec{v} é sua velocidade (em m/s). O momento tem direção e sentido iguais aos da velocidade.
  • Por que podemos usá‑lo: num sistema isolado (sem forças externas resultantes no plano do movimento durante o intervalo da colisão) o momento total é conservado. Isso significa: \sum \vec{p}^{\,i}=\sum \vec{p}^{\,f},onde o somatório é sobre os corpos do sistema (A e B).
  • Como aplicar na prática: fazemos a conservação de momento componente a componente (eixos x e y), porque vetores são iguais se e somente se suas componentes correspondentes são iguais. Assim teremos duas equações: uma para x e outra para y. Cada equação envolverá m_{B}, que é o incógnita.

Passo 3

Conservação do momento na componente x (montando a equação e resolvendo):
  • Escrevendo a conservação para x: m_{A} v_{A,x}^{i} + m_{B} v_{B,x}^{i} = m_{A} v_{A,x}^{f} + m_{B} v_{B,x}^{f}.
  • Substituindo os números (todos em \mathrm{m/s} e \mathrm{kg}): 1,0\cdot 20,0 + m_{B}\cdot 5,0 = 1,0\cdot 10,0 + m_{B}\cdot 10,0.
  • Fazer as multiplicações e agrupar termos: 20,0 + 5,0\,m_{B} = 10,0 + 10,0\,m_{B}.
  • Isolando m_{B}: subtrair 5,0\,m_{B} dos dois lados e subtrair 10,0 dos dois lados: 20,0-10,0 = 10,0\,m_{B}-5,0\,m_{B}.
10,0 = 5,0\,m_{B}.
  • Portanto, m_{B}=\frac{10,0}{5,0}=2,0\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Verificação pela componente y (para confirmar consistência; passo importante em provas):
  • Equação para y: m_{A} v_{A,y}^{i} + m_{B} v_{B,y}^{i} = m_{A} v_{A,y}^{f} + m_{B} v_{B,y}^{f}.
  • Substituindo valores: 1,0\cdot 10,0 + m_{B}\cdot(-15,0) = 1,0\cdot(-10,0) + m_{B}\cdot(-5,0).
  • Simplificando: 10,0 -15,0\,m_{B} = -10,0 -5,0\,m_{B}.
  • Isolando m_{B}: somar 15,0\,m_{B} aos dois lados e somar 10,0 aos dois lados: 10,0 +10,0 = -5,0\,m_{B} +15,0\,m_{B}.
20,0 = 10,0\,m_{B}.
  • Logo, m_{B}=\frac{20,0}{10,0}=2,0\\ \mathrm{kg}.
  • A componente y confirma o resultado obtido com a componente x; portanto o valor é consistente.

Passo 5

Interpretação final e dica pra prova:
  • Achamos m_{B}=2,0\\ \mathrm{kg}. Sempre que resolver problemas assim na prova:
    1. Escreva as equações de conservação de momento vetorialmente e depois separe em componentes.
    2. Substitua números com cuidado e faça checagem com a outra componente (se houver) para confirmar que não cometeu erro algébrico.
    3. Se der resultados inconsistentes entre componentes, revise sinais e unidades (frequentemente o erro vem do sinal das componentes).
  • Bom trabalho — você já está a um passo de resolver questões de colisão com confiança!

Resposta

m_{B}=2,0\\ \mathrm{kg}

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