1-) Uma esfera de raio R está carregada com uma distribuição volumétrica de cargas, \rho_{1}(r)=k r^{2} (com k uma constante com unidades apropriadas). (a) Calcule o campo elétrico usando a lei de Gauss dentro e fora da esfera. (b) Calcule a energia armazenada na esfera usando a expressão W=\frac{\varepsilon_{o}}{2} \int_{\text {todo espaço }} E^{2} d \tau.
Passo 1
O enunciado dá uma esfera de raio R carregada com densidade volumétrica radial
\rho_{1}(r)=k\,r^{2},
onde k é uma constante (unidades apropriadas). São pedidos dois itens:
(a) calcular o campo elétrico \mathbf{E}(r) dentro e fora da esfera;
(b) calcular a energia eletrostática armazenada na configuração usando
densidade de carga em todo o volume: \rho_{1}(r)=k r^{2};
queremos E(r) para r<R (dentro) e para r>R (fora);
queremos a energia total W.\
Vou começar calculando E(r) via simetria esférica e uma superfície gaussiana, e depois usar essa E(r) no integral da energia (dividindo espaço em duas regiões: 0\le r\le R e R\le r<\infty).
Passo 2
Princípio e fórmula que vou usar para o campo: aplicar a lei de Gauss para uma distribuição esfericamente simétrica. A lei de Gauss na forma integral diz
onde Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro da superfície fechada. Para uma superfície gaussiana esférica de raio r centrada na esfera, por simetria \mathbf{E} é radial e tem magnitude dependente só de r: \mathbf{E}(r)=E(r)\,\hat{r}. Então o lado esquerdo fica
Explico as variedades: E(r) é a magnitude do campo na superfície gaussiana, r é o raio da superfície gaussiana, Q_{\text{int}}(r) é a carga dentro de raio r, e \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Calcular Q_{\text{int}}(r) para r<R. A carga contida em uma casca esférica infinitesimal de raio r' e espessura dr' vale \rho_{1}(r')\,d\tau com d\tau=4\pi r'^2 dr'. Assim
Q_{\text{int}}(r)=\int_{0}^{r}\rho_{1}(r')\,4\pi r'^{2}\,dr' =\int_{0}^{r} k r'^{2}\cdot 4\pi r'^{2}\,dr' =4\pi k \int_{0}^{r} r'^{4}\,dr'.
Comentário prático para prova: sempre calcule primeiro Q_{\text{int}}(r) integrando \rho\,4\pi r'^2 e depois aplique E\cdot 4\pi r^2=Q_{\text{int}}/\varepsilon_0. Não esqueça de simplificar potências de r.
Passo 5
Calcular E(r) fora da esfera (r\ge R). Primeiro a carga total da esfera (pego integrando até R ou avaliando Q_{\text{int}}(R)):
Q_{\text{tot}}=Q_{\text{int}}(R)=\frac{4\pi k R^{5}}{5}.
Para r\ge R a superfície gaussiana contém toda a carga, então pela lei de Gauss:
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{tot}}}{\varepsilon_{0}}=\frac{1}{\varepsilon_{0}}\cdot\frac{4\pi k R^{5}}{5}.
Comentário final e dica de prova: cheque consistência dimensional rápida e verifique que W>0. Em prova, faça os passos na ordem: (i) calcule Q_{\text{int}}(r); (ii) aplique Gauss; (iii) para energia, escreva integral em coordenadas esféricas e separe em 0\ldots R e R\ldots\infty.