1-) Uma esfera de raio R está carregada com uma distribuição volumétrica de cargas, \rho_{1}(r)=k r^{2} (com k uma constante com unidades apropriadas). (a) Calcule o campo elétrico usando a lei de Gauss dentro e fora da esfera. (b) Calcule a energia armazenada na esfera usando a expressão W=\frac{\varepsilon_{o}}{2} \int_{\text {todo espaço }} E^{2} d \tauç.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera de raio R carregada com densidade volumétrica radial
\rho_{1}(r)=k\,r^{2},
onde k é uma constante (unidades apropriadas). São pedidos dois itens:
(a) calcular o campo elétrico \mathbf{E}(r) dentro e fora da esfera;
(b) calcular a energia eletrostática armazenada na configuração usando
W=\frac{\varepsilon_{0}}{2}\int_{\text{todo espaço}} E^{2}\,d\tau.ç
Informações relevantes fornecidas:
  • raio da esfera: R;
  • densidade de carga em todo o volume: \rho_{1}(r)=k r^{2};
  • queremos E(r) para r<R (dentro) e para r>R (fora);
  • queremos a energia total W.\
    Vou começar calculando E(r) via simetria esférica e uma superfície gaussiana, e depois usar essa E(r) no integral da energia (dividindo espaço em duas regiões: 0\le r\le R e R\le r<\infty).

Passo 2

Princípio e fórmula que vou usar para o campo: aplicar a lei de Gauss para uma distribuição esfericamente simétrica. A lei de Gauss na forma integral diz
\oint_{\text{superf.}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}},
onde Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro da superfície fechada. Para uma superfície gaussiana esférica de raio r centrada na esfera, por simetria \mathbf{E} é radial e tem magnitude dependente só de r: \mathbf{E}(r)=E(r)\,\hat{r}. Então o lado esquerdo fica
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\cdot 4\pi r^{2}.
Assim
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_{0}}.
Explico as variedades: E(r) é a magnitude do campo na superfície gaussiana, r é o raio da superfície gaussiana, Q_{\text{int}}(r) é a carga dentro de raio r, e \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Calcular Q_{\text{int}}(r) para r<R. A carga contida em uma casca esférica infinitesimal de raio r' e espessura dr' vale \rho_{1}(r')\,d\tau com d\tau=4\pi r'^2 dr'. Assim
Q_{\text{int}}(r)=\int_{0}^{r}\rho_{1}(r')\,4\pi r'^{2}\,dr' =\int_{0}^{r} k r'^{2}\cdot 4\pi r'^{2}\,dr' =4\pi k \int_{0}^{r} r'^{4}\,dr'.
Faço a integral simples:
\int_{0}^{r} r'^{4}\,dr'=\left[\frac{r'^{5}}{5}\right]_{0}^{r}=\frac{r^{5}}{5}.
Portanto, para r\le R,
Q_{\text{int}}(r)=\frac{4\pi k r^{5}}{5}.
Observação: a unidade de k deve ser tal que \rho tenha unidade \text{C}\,\text{m}^{-3}; de fato k tem dimensão \text{C}\,\text{m}^{-5}.

Passo 4

Determinar E(r) dentro da esfera usando a expressão de Gauss:
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{1}{\varepsilon_{0}}\cdot \frac{4\pi k r^{5}}{5}.
Isolando E(r):
E(r)=\frac{1}{4\pi r^{2}}\cdot\frac{4\pi k r^{5}}{5\varepsilon_{0}}=\frac{k r^{3}}{5\varepsilon_{0}}.
Portanto, para 0\le r< R,
E_{\text{dentro}}(r)=\frac{k r^{3}}{5\varepsilon_{0}}\quad (\text{direção radial, }\hat{r}).çã
Comentário prático para prova: sempre calcule primeiro Q_{\text{int}}(r) integrando \rho\,4\pi r'^2 e depois aplique E\cdot 4\pi r^2=Q_{\text{int}}/\varepsilon_0. Não esqueça de simplificar potências de r.

Passo 5

Calcular E(r) fora da esfera ( r\ge R). Primeiro a carga total da esfera (pego integrando até R ou avaliando Q_{\text{int}}(R)):
Q_{\text{tot}}=Q_{\text{int}}(R)=\frac{4\pi k R^{5}}{5}.
Para r\ge R a superfície gaussiana contém toda a carga, então pela lei de Gauss:
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{tot}}}{\varepsilon_{0}}=\frac{1}{\varepsilon_{0}}\cdot\frac{4\pi k R^{5}}{5}.
Logo
E(r)=\frac{k R^{5}}{5\varepsilon_{0} r^{2}}.
Portanto, para r\ge R,
E_{\text{fora}}(r)=\frac{k R^{5}}{5\varepsilon_{0} r^{2}}\quad(\text{radial, }\hat{r}).
Observação: ao longe o campo decai como 1/r^{2}, como se toda a carga estivesse concentrada no centro.

Passo 6

Agora a energia eletrostática total:
W=\frac{\varepsilon_{0}}{2}\int_{\text{todo espaço}} E^{2}\,d\tau.ç
Com simetria esférica escrevo d\tau=4\pi r^{2}dr e separo integral em duas regiões:
W=\frac{\varepsilon_{0}}{2}\,4\pi\left(\int_{0}^{R} E_{\text{dentro}}(r)^{2}\,r^{2}\,dr +\int_{R}^{\infty} E_{\text{fora}}(r)^{2}\,r^{2}\,dr\right).
Explico: multiplico E^{2} por 4\pi r^{2} para integrar em dr. Vou calcular cada integral separadamente.

Passo 7

Calcular W_{\text{dentro}}=\dfrac{\varepsilon_{0}}{2}\,4\pi\int_{0}^{R} E_{\text{dentro}}^{2} r^{2}\,dr.
Substituo E_{\text{dentro}}(r)=\dfrac{k r^{3}}{5\varepsilon_{0}}. Então
E_{\text{dentro}}^{2}=\frac{k^{2} r^{6}}{25\varepsilon_{0}^{2}},
e o integrando fica \dfrac{k^{2} r^{6}}{25\varepsilon_{0}^{2}}\cdot r^{2}=\dfrac{k^{2} r^{8}}{25\varepsilon_{0}^{2}}. Assim
W_{\text{dentro}}=\frac{\varepsilon_{0}}{2}\,4\pi\cdot\frac{k^{2}}{25\varepsilon_{0}^{2}} \int_{0}^{R} r^{8}\,dr.
Faço a simplificação dos coeficientes:
\frac{\varepsilon_{0}}{2}\,4\pi\cdot\frac{k^{2}}{25\varepsilon_{0}^{2}}=\frac{4\pi k^{2}}{50\varepsilon_{0}}=\frac{2\pi k^{2}}{25\varepsilon_{0}}.
A integral é
\int_{0}^{R} r^{8}\,dr=\frac{R^{9}}{9}.
Portanto
W_{\text{dentro}}=\frac{2\pi k^{2}}{25\varepsilon_{0}}\cdot\frac{R^{9}}{9}=\frac{2\pi k^{2}R^{9}}{225\varepsilon_{0}}.

Passo 8

Calcular W_{\text{fora}}=\dfrac{\varepsilon_{0}}{2}\,4\pi\int_{R}^{\infty} E_{\text{fora}}^{2} r^{2}\,dr.
Substituo E_{\text{fora}}(r)=\dfrac{k R^{5}}{5\varepsilon_{0} r^{2}}. Então
E_{\text{fora}}^{2}=\frac{k^{2} R^{10}}{25\varepsilon_{0}^{2} r^{4}}.
Multiplicando por r^{2} obtém-se \dfrac{k^{2} R^{10}}{25\varepsilon_{0}^{2} r^{2}}. Então
W_{\text{fora}}=\frac{\varepsilon_{0}}{2}\,4\pi\cdot\frac{k^{2} R^{10}}{25\varepsilon_{0}^{2}} \int_{R}^{\infty}\frac{1}{r^{2}}\,dr.
Simplifico os coeficientes:
\frac{\varepsilon_{0}}{2}\,4\pi\cdot\frac{k^{2} R^{10}}{25\varepsilon_{0}^{2}}=\frac{4\pi k^{2} R^{10}}{50\varepsilon_{0}}=\frac{2\pi k^{2} R^{10}}{25\varepsilon_{0}}.
A integral impropria é
\int_{R}^{\infty}\frac{1}{r^{2}}\,dr=\left[-\frac{1}{r}\right]_{R}^{\infty}=\frac{1}{R}.
Logo
W_{\text{fora}}=\frac{2\pi k^{2} R^{10}}{25\varepsilon_{0}}\cdot\frac{1}{R}=\frac{2\pi k^{2} R^{9}}{25\varepsilon_{0}}.

Passo 9

Somar as duas parcelas para obter W:
W=W_{\text{dentro}}+W_{\text{fora}}=\frac{2\pi k^{2}R^{9}}{225\varepsilon_{0}}+\frac{2\pi k^{2}R^{9}}{25\varepsilon_{0}}.
Coloco em denominador comum 225:
\frac{2\pi k^{2}R^{9}}{225\varepsilon_{0}}+\frac{2\pi k^{2}R^{9}\cdot 9}{225\varepsilon_{0}} =\frac{2\pi k^{2}R^{9}}{225\varepsilon_{0}}(1+9)=\frac{20\pi k^{2}R^{9}}{225\varepsilon_{0}}.
Simplificando 20/225=4/45, obtemos a forma final
W=\frac{4\pi k^{2}R^{9}}{45\varepsilon_{0}}.
Comentário final e dica de prova: cheque consistência dimensional rápida e verifique que W>0. Em prova, faça os passos na ordem: (i) calcule Q_{\text{int}}(r); (ii) aplique Gauss; (iii) para energia, escreva integral em coordenadas esféricas e separe em 0\ldots R e R\ldots\infty.

Resposta

(a) \displaystyle E(r)=\begin{cases}\dfrac{k r^{3}}{5\varepsilon_{0}}, & r<R,\\[6pt]\dfrac{k R^{5}}{5\varepsilon_{0} r^{2}}, & r\ge R,\end{cases}
(b) \displaystyle W=\frac{4\pi k^{2} R^{9}}{45\varepsilon_{0}}]

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