Questão 1 ( \mathbf{1 , 0} ponto): Três partículas de massas m_{1}=3,0 \mathrm{~kg}, m_{2}=5,0 \mathrm{~kg} e m_{3}=8,0 \mathrm{~kg} encontram-se em repouso no plano x y. As posições dessas partículas são dadas pelo vetores \vec{r}_{1}=1,0 \hat{\imath}-1,0 \hat{\jmath}(\mathrm{~m}), \vec{r}_{2}=1,0 \hat{\imath}+7,0 \hat{\jmath}(\mathrm{~m}) \mathrm{e} \vec{r}_{3}=0,0 \hat{\imath}+0,0 \hat{\jmath}(\mathrm{~m}), respectivamente. A posição do centro de massa \vec{r}_{C M} do sistema é então
(a) \vec{r}_{C M}=0,0 \hat{\imath}+0,5 \hat{\jmath}(\mathrm{~m})
(b) \vec{r}_{C M}=-2,0 \hat{\imath}+0,5 \hat{\jmath}(\mathrm{~m})
(c) \vec{r}_{C M}=0,5 \hat{\imath}-0,5 \hat{\jmath}(\mathrm{~m})
(d) \vec{r}_{C M}=-2,0 \hat{\imath}-0,5 \hat{\jmath}(\mathrm{~m})
(e) \vec{r}_{C M}=0,5 \hat{\imath}+2,0 \hat{\jmath}(\mathrm{~m})
(f) \vec{r}_{C M}=-1,0 \hat{\imath}-2,5 \hat{\jmath}(\mathrm{~m})

Passo 1

O enunciado fornece as massas e posições das três partículas e pede a posição do centro de massa do sistema. Dados fornecidos:
  • m_{1}=3,0\\ \mathrm{kg}
  • m_{2}=5,0\\ \mathrm{kg}
  • m_{3}=8,0\\ \mathrm{kg}
  • \vec{r}_{1}=1,0\,\hat{\imath}-1,0\,\hat{\jmath}\\ (\mathrm{m})
  • \vec{r}_{2}=1,0\,\hat{\imath}+7,0\,\hat{\jmath}\\ (\mathrm{m})
  • \vec{r}_{3}=0,0\,\hat{\imath}+0,0\,\hat{\jmath}\\ (\mathrm{m})
O que o enunciado pede:
  • Determinar \vec{r}_{CM}, a posição do centro de massa do sistema (vetor posição em metros).
  • Existe uma lista de alternativas (a)–(f); deve-se identificar qual alternativa corresponde ao resultado.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (definição do centro de massa para partículas discretas):
\vec{r}_{CM}=\frac{\sum_{i} m_{i}\,\vec{r}_{i}}{\sum_{i} m_{i}}.
Explicação das quantidades:
  • \vec{r}_{CM} é o vetor posição do centro de massa que procuramos.
  • m_{i} são as massas das partículas (aqui i=1,2,3).
  • \vec{r}_{i} são os vetores posição de cada partícula.
  • O numerador \sum_{i} m_{i}\vec{r}_{i} é a soma vetorial dos momentos de massa.
  • O denominador \sum_{i} m_{i} é a massa total do sistema.
Como o problema está no plano xy, é prático calcular separadamente as componentes x e y:
x_{CM}=\frac{\sum_{i} m_{i} x_{i}}{\sum_{i} m_{i}},\qquad y_{CM}=\frac{\sum_{i} m_{i} y_{i}}{\sum_{i} m_{i}}.
Aqui x_{i} e y_{i} são as componentes de \vec{r}_{i}.

Passo 3

Calcular a massa total:
M=\sum_{i} m_{i}=m_{1}+m_{2}+m_{3}=3{,}0+5{,}0+8{,}0=16{,}0\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Calcular a soma dos momentos de massa na direção x:
\sum_{i} m_{i} x_{i}=m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}+m_{3}x_{3}.
Substituindo os valores (notando que x_{1}=1{,}0,\;x_{2}=1{,}0,\;x_{3}=0{,}0):
\sum_{i} m_{i} x_{i}=3{,}0\cdot 1{,}0 + 5{,}0\cdot 1{,}0 + 8{,}0\cdot 0{,}0 = 3{,}0 + 5{,}0 + 0{,}0 = 8{,}0.
Agora a componente x do centro de massa:
x_{CM}=\frac{8{,}0}{16{,}0}=\frac{1}{2}=0,5\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular a soma dos momentos de massa na direção y:
\sum_{i} m_{i} y_{i}=m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+m_{3}y_{3}.
Substituindo os valores (notando que y_{1}=-1{,}0,\;y_{2}=7{,}0,\;y_{3}=0{,}0):
\sum_{i} m_{i} y_{i}=3{,}0\cdot(-1{,}0) + 5{,}0\cdot 7{,}0 + 8{,}0\cdot 0{,}0 = -3{,}0 + 35{,}0 + 0{,}0 = 32{,}0.
Agora a componente y do centro de massa:
y_{CM}=\frac{32{,}0}{16{,}0}=2{,}0\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Montando o vetor posição do centro de massa a partir das componentes calculadas:
\vec{r}_{CM}=0,5\,\hat{\imath}+2,0\,\hat{\jmath}\\ (\mathrm{m}).
Comparando com as alternativas do enunciado, isto coincide com a alternativa (e).

Resposta

\vec{r}_{CM}=0,5\,\hat{\imath}+2,0\,\hat{\jmath}\\ (\mathrm{m})

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