Questão 5: A partir da Equação de Navier-Stokes, mostre que ao admitirmos escoamento irrotacional, obtemos a Equação de Euler.

Passo 1

O enunciado pede: “A partir da Equação de Navier–Stokes, mostre que ao admitirmos escoamento irrotacional, obtemos a Equação de Euler.”
Conteúdo: Mecânica dos fluidos, mais especificamente as equações de Navier–Stokes (que descrevem fluidos viscosos) e Euler (que descrevem fluidos não viscosos).
O que vamos precisar:
  1. A forma vetorial da Equação de Navier–Stokes para fluido incompressível.
  2. Definição de escoamento irrotacional (vorticidade zero).
  3. A identidade vetorial que liga Laplaciano de um campo vetorial à divergência e ao rotacional desse campo.

Passo 2

Escrevendo a Equação de Navier–Stokes (fluido incompressível, densidade ρ constante, viscosidade dinâmica μ):
rhol(partial upartial t + (ucdotnabla)ur) = -nabla p + mu,nabla^2u + rho,f,
onde
  • u(x,t) é o campo de velocidades,
  • p(x,t) é a pressão,
  • f são forças de corpo (ex.: gravidade).

Passo 3

Definição de escoamento irrotacional: a vorticidade omega=nablatimesu é zero em todo ponto do fluido.
Então:
nablatimesu = 0

Passo 4

Vamos mostrar que, sob essa condição, a parte viscosa mu,nabla^2u some.
Usamos a identidade vetorial
nabla^2u = nabla(nablacdotu) ;-;nablatimes(nablatimesu)
Como o fluido é incompressível, nablacdotu=0. E por hipóteses de escoamento irrotacional, nablatimesu=0. Assim
nabla^2u = nabla(0);-;nablatimes(0) = 0
Logo o termo viscoso desaparece: mu,nabla^2u=0.

Passo 5

Substituindo esse resultado de volta na Navier–Stokes, sobra
rhol(partial upartial t + (ucdotnabla)ur) = -nabla p + rho,f
E esta é exatamente a Equação de Euler para escoamento incompressível e não viscoso.

Resposta

A partir de nablatimesu=0 e nablacdotu=0 conclui-se que nabla^2u=0, eliminando o termo viscoso em Navier–Stokes e reduzindo-a à Equação de Euler:
rhol(partial upartial t + (ucdotnabla)ur) = -nabla p + rho,f

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