Questão 5: A partir da Equação de Navier-Stokes, mostre que ao admitirmos escoamento irrotacional, obtemos a Equação de Euler.
Passo 1
O enunciado pede: “A partir da Equação de Navier–Stokes, mostre que ao admitirmos escoamento irrotacional, obtemos a Equação de Euler.”
Conteúdo: Mecânica dos fluidos, mais especificamente as equações de Navier–Stokes (que descrevem fluidos viscosos) e Euler (que descrevem fluidos não viscosos).
O que vamos precisar:
Conteúdo: Mecânica dos fluidos, mais especificamente as equações de Navier–Stokes (que descrevem fluidos viscosos) e Euler (que descrevem fluidos não viscosos).
O que vamos precisar:
- A forma vetorial da Equação de Navier–Stokes para fluido incompressível.
- Definição de escoamento irrotacional (vorticidade zero).
- A identidade vetorial que liga Laplaciano de um campo vetorial à divergência e ao rotacional desse campo.
Passo 2
Escrevendo a Equação de Navier–Stokes (fluido incompressível, densidade ρ constante, viscosidade dinâmica μ):
onde
-
é o campo de velocidades, -
é a pressão, -
são forças de corpo (ex.: gravidade).
Passo 3
Definição de escoamento irrotacional: a vorticidade
é zero em todo ponto do fluido.
Então:
Então:
Passo 4
Vamos mostrar que, sob essa condição, a parte viscosa
some.
Usamos a identidade vetorial
Usamos a identidade vetorial
Como o fluido é incompressível,
. E por hipóteses de escoamento irrotacional,
. Assim
Logo o termo viscoso desaparece:
.
Passo 5
Substituindo esse resultado de volta na Navier–Stokes, sobra
E esta é exatamente a Equação de Euler para escoamento incompressível e não viscoso.
Resposta
A partir de
e
conclui-se que
, eliminando o termo viscoso em Navier–Stokes e reduzindo-a à Equação de Euler: