Questão 3: A partir da expressão obtida no item anterior, aplique as aproximações necessárias para escoamento lento (creeping flow) e obtenha a expressão simplificada. Detalhe o procedimento necessário as hipóteses utilizadas. Liste duas situações no qual a aproximação é válida.

Passo 1

Beleza, o exercício quer que a gente pegue a equação completa do escoamento (que a gente obteve no item anterior, isto é, a equação de Navier–Stokes para um fluido incompressível e em regime estacionário) e simplifique ela para o caso de “escoamento lento” (creeping flow).
Conteúdo: mecânica dos fluidos, em especial a equação de Navier–Stokes e a ideia de número de Reynolds baixo.
O que vamos precisar:
  1. A forma geral da NS estacionária:
    .
  2. A definição de número de Reynolds
    .
  3. A hipótese de Re ≪ 1 para “escoamento lento”.

Passo 2

Antes de sair cortando termos, vamos relembrar:
– Na equação de Navier–Stokes estacionária e incompressível temos
rho,(ucdotnabla)u ;=; -nabla p ;+;mu,nabla^2u;+;rho,g,
– O termo representa as forças de inércia do fluido.
– Se o escoamento for bem lento, o número de Reynolds é muito menor que 1, logo as inércias são desprezíveis em relação às forças viscosas.

Passo 3

Aplicando a hipótese de creeping flow (Re ≪ 1):
  1. A gente despreza 0 = -nabla p + mu,nabla^2u + rho,g .
  2. Se o escoamento for também estacionário, não há termo para incluir ou descartar.
  3. Mantemos a incompressibilidade ( ) e consideramos um fluido newtoniano constante.
Com isso, a NS vira simplesmente:

Passo 4

Dando uma ligeira reorganizada, fica a famosa Equação de Stokes (escoamento creeping):
-nabla p + mu,nabla^2u + rho,g ;=; 0
E junto vem a condição de incompressibilidade
nablacdotu = 0

Passo 5

As hipóteses que usamos foram:
  1. Número de Reynolds muito baixo (Re ≪ 1), o que justifica desprezar o termo de inércia .
  2. Fluido newtoniano e propriedades constantes (densidade e viscosidade fixas).
  3. Regime estacionário (sem variação temporal de ).
  4. Escoamento incompressível ( ).

Passo 6

Duas situações práticas em que essa aproximação vale:
  1. Movimento de pequenas partículas ou microrganismos em água (como bactérias nadando): velocidades e comprimentos são tão pequenos que Re ≪ 1.
  2. Fluxo de fluidos muito viscosos (por exemplo, glicerina) em canais microscópicos ou entre superfícies muito próximas (como em lubrificação de rolamentos finos).

Resposta

A expressão simplificada para escoamento lento (creeping flow) é a Equação de Stokes:
-nabla p + mu,nabla^2u + rho,g = 0, nablacdotu = 0,
válida quando .

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