Questão 3: A partir da expressão obtida no item anterior, aplique as aproximações necessárias para escoamento lento (creeping flow) e obtenha a expressão simplificada. Detalhe o procedimento necessário as hipóteses utilizadas. Liste duas situações no qual a aproximação é válida.
Passo 1
Beleza, o exercício quer que a gente pegue a equação completa do escoamento (que a gente obteve no item anterior, isto é, a equação de Navier–Stokes para um fluido incompressível e em regime estacionário) e simplifique ela para o caso de “escoamento lento” (creeping flow).
Conteúdo: mecânica dos fluidos, em especial a equação de Navier–Stokes e a ideia de número de Reynolds baixo.
O que vamos precisar:
Conteúdo: mecânica dos fluidos, em especial a equação de Navier–Stokes e a ideia de número de Reynolds baixo.
O que vamos precisar:
- A forma geral da NS estacionária:
. - A definição de número de Reynolds
. - A hipótese de Re ≪ 1 para “escoamento lento”.
Passo 2
Antes de sair cortando termos, vamos relembrar:
– Na equação de Navier–Stokes estacionária e incompressível temos
– Na equação de Navier–Stokes estacionária e incompressível temos
– O termo
representa as forças de inércia do fluido.
– Se o escoamento for bem lento, o número de Reynolds é muito menor que 1, logo as inércias são desprezíveis em relação às forças viscosas.
– Se o escoamento for bem lento, o número de Reynolds
Passo 3
Aplicando a hipótese de creeping flow (Re ≪ 1):
- A gente despreza
. - Se o escoamento for também estacionário, não há termo
para incluir ou descartar. - Mantemos a incompressibilidade (
) e consideramos um fluido newtoniano constante.
Com isso, a NS vira simplesmente:
Passo 4
Dando uma ligeira reorganizada, fica a famosa Equação de Stokes (escoamento creeping):
E junto vem a condição de incompressibilidade
Passo 5
As hipóteses que usamos foram:
- Número de Reynolds muito baixo (Re ≪ 1), o que justifica desprezar o termo de inércia
. - Fluido newtoniano e propriedades constantes (densidade e viscosidade fixas).
- Regime estacionário (sem variação temporal de
). - Escoamento incompressível (
).
Passo 6
Duas situações práticas em que essa aproximação vale:
- Movimento de pequenas partículas ou microrganismos em água (como bactérias nadando): velocidades e comprimentos são tão pequenos que Re ≪ 1.
- Fluxo de fluidos muito viscosos (por exemplo, glicerina) em canais microscópicos ou entre superfícies muito próximas (como em lubrificação de rolamentos finos).
Resposta
A expressão simplificada para escoamento lento (creeping flow) é a Equação de Stokes:
válida quando
.