Questão 10 (1 ponto - Requer Cálculo) - Encontre valores de \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{e} \mathrm{c} tais que o gráfico do polinômio p(x)= a x^{2}+b x+c passa pelo ponto (-4,0) e tem uma tangente horizontal em (2,-36).

Passo 1

O enunciado pede um polinômio p(x)=a x^{2}+b x+c que passe pelo ponto (-4,0) e tenha tangente horizontal em (2,-36). Isso gera as condições
  1. p(-4)=0,
  2. p(2)=-36,
  3. p'(2)=0.

Passo 2

Calculamos a derivada de p:
p'(x)=2a x+b.
Para ter tangente horizontal em x=2 precisamos de
p'(2)=4a+b=0.

Passo 3

As condições de passagem pelos pontos são
p(2)=4a+2b+c=-36,
p(-4)=16a-4b+c=0.

Passo 4

Da equação 4a+b=0 vem
b=-4a.
Substituindo em p(2):
4a+2(-4a)+c=-36\implies -4a+c=-36\implies c=-36+4a.
Agora em p(-4):
16a-4(-4a)+(-36+4a)=0\implies 16a+16a-36+4a=0\implies 36a-36=0\implies a=1.
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b=-4\cdot1=-4,\quad c=-36+4\cdot1=-32.

Resposta

a=1, b=-4, c=-32.

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