Questão 8 (1 ponto) - Ache todas as matrizes B que comutam (sob multiplicação de matrizes) \operatorname{com} A= \left[\begin{array}{cc}-5 & -3 \\\\ -1 & 2\end{array}\right].
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todas as matrizes B de ordem 2\times2 que satisfazem
AB = BA
para
A = \begin{pmatrix}-5 & -3 \\[6pt] -1 & 2\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é o estudo do centralizador de A. Em dimensão 2, se A tiver autovalores distintos, o conjunto de todas as matrizes que comutam com A é precisamente o espaço gerado por I e A. Vamos mostrar isso calculando o polinômio característico de A.]
logo A tem dois autovalores reais distintos e, consequentemente, é diagonalizável sobre \mathbb{R}.]
Passo 3
Um teorema de álgebra linear afirma que, para uma matriz diagonalizável com autovalores distintos, seu centralizador é exatamente o espaço dos polinômios nela mesma. Assim, toda matriz B que comuta com A pode ser escrita como
B = \alpha I + \beta A,
onde \alpha e \beta são escalares reais.
Passo 4
Para evidenciar os elementos de B, somamos \alpha I a \beta A: