Questão 10 (0.5 ponto)
As vendas (em milhões de dólares) de uma gravação em DVD de um filme de sucesso,
anos após a data de lançamento, são dadas por
Encontre a taxa de variação das vendas no tempo
e determine seus valores em
e
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Nenhuma das anteriores
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Nenhuma das anteriores
Passo 1
O enunciado dá a função de vendas (em milhões de dólares)
anos após o lançamento:
Pede-se claramente duas coisas:
- Encontrar a taxa de variação das vendas no tempo
, isto é, . - Calcular os valores
e .
Informações relevantes que temos:
- A função
está definida por uma fração (um numerador e um denominador). - O domínio relevante é
. - Queremos a derivada da função e duas avaliações dessa derivada.
Passo 2
Como a função é uma fração do tipo
(com
e
), o método direto é usar a regra do quociente para derivação. Vou explicar a regra do quociente com calma:
Regra do quociente: se
com
, então
O que cada coisa significa:
-
é o numerador da fração. -
é o denominador da fração. -
é a derivada do numerador. -
é a derivada do denominador.
A ideia é: derivamos cada parte separadamente e combinamos como na fórmula acima. Essa fórmula vem de derivar o produtoe aplicar a regra do produto e da cadeia, mas aqui basta decorar e saber aplicar com entendimento do que cada termo representa.
Também vale reforçar o significado físico:
tem unidades de (milhões de dólares) por ano — é a velocidade de variação das vendas no tempo. Se
as vendas estão aumentando naquele instante; se
estão diminuindo.
Passo 3
Identificamos
e
e suas derivadas:
Derivando cada uma:
Agora aplicamos a regra do quociente:
Passo 4
Vamos simplificar o numerador passo a passo:
Agora somamos os termos semelhantes no numerador:
Portanto a derivada simplificada é
Essa é a expressão final para a taxa de variação das vendas em função de
.
Passo 5
Interpretação rápida antes de calcular valores: o sinal de
- se
(ou seja ), então — vendas crescendo; - se
(ou seja ), então — vendas caindo; - em
, — ponto de máximo (mudança de crescimento para queda). Isso bate com a intuição: as vendas crescem logo após o lançamento e depois diminuem.
Passo 6
Agora calculamos
. Substituindo
na fórmula:
Interpretação: no instante do lançamento (
) a taxa de variação é
milhões de dólares por ano — as vendas estão subindo rapidamente naquele instante.
Passo 7
Calculamos
. Substituindo
:
Interpretação: em
anos após o lançamento as vendas estão caindo a uma taxa de
milhões de dólares por ano (ou seja,
milhões por ano).
Passo 8
Comparando com as alternativas dadas:
- A alternativa (a) apresenta exatamente
que coincide com os nossos cálculos. As outras alternativas trocam sinais ou erram o denominador ou o valor em
. Logo a alternativa correta é a (a).
Resposta
(a)