Questão 10 (0.5 ponto)

As vendas (em milhões de dólares) de uma gravação em DVD de um filme de sucesso, t anos após a data de lançamento, são dadas por
S(t)=\frac{5 t}{t^{2}+1}, \quad t \geq 0 .
Encontre a taxa de variação das vendas no tempo t e determine seus valores em t=0 e t=2.
(a) S^{\prime}(t)=\frac{5\left(1-t^{2}\right)}{\left(t^{2}+1\right)^{2}}, S^{\prime}(0)=5, S^{\prime}(2)=-\frac{3}{5}
(b) S^{\prime}(t)=\frac{5\left(t^{2}-1\right)}{\left(t^{2}+1\right)^{2}}, S^{\prime}(0)=-5, S^{\prime}(2)=\frac{3}{5}
(c) S^{\prime}(t)=\frac{5\left(1-t^{2}\right)}{t^{2}+1}, S^{\prime}(0)=5, S^{\prime}(2)=-\frac{3}{5}
(d) S^{\prime}(t)=\frac{5\left(1-t^{2}\right)}{\left(t^{2}+1\right)^{2}}, S^{\prime}(0)=0, S^{\prime}(2)=-\frac{3}{5}
(e) Nenhuma das anteriores

Passo 1

O enunciado dá a função de vendas (em milhões de dólares) S(t) anos após o lançamento:
S(t)=\frac{5t}{t^{2}+1},\quad t\ge 0.
Pede-se claramente duas coisas:
  1. Encontrar a taxa de variação das vendas no tempo t, isto é, S'(t).
  2. Calcular os valores S'(0) e S'(2).
Informações relevantes que temos:
  • A função S(t) está definida por uma fração (um numerador e um denominador).
  • O domínio relevante é t\ge 0.
  • Queremos a derivada da função e duas avaliações dessa derivada.

Passo 2

Como a função é uma fração do tipo \dfrac{u(t)}{v(t)} (com u(t)=5t e v(t)=t^{2}+1), o método direto é usar a regra do quociente para derivação. Vou explicar a regra do quociente com calma:
Regra do quociente: se f(t)=\dfrac{u(t)}{v(t)} com v(t)\neq 0, então
f'(t)=\frac{u'(t)\,v(t)-u(t)\,v'(t)}{[v(t)]^{2}}.
O que cada coisa significa:
  • u(t) é o numerador da fração.
  • v(t) é o denominador da fração.
  • u'(t) é a derivada do numerador.
  • v'(t) é a derivada do denominador.
    A ideia é: derivamos cada parte separadamente e combinamos como na fórmula acima. Essa fórmula vem de derivar o produto u\cdot v^{-1} e aplicar a regra do produto e da cadeia, mas aqui basta decorar e saber aplicar com entendimento do que cada termo representa.
Também vale reforçar o significado físico: S'(t) tem unidades de (milhões de dólares) por ano — é a velocidade de variação das vendas no tempo. Se S'(t)>0 as vendas estão aumentando naquele instante; se S'(t)<0 estão diminuindo.

Passo 3

Identificamos u(t) e v(t) e suas derivadas:
u(t)=5t,\qquad v(t)=t^{2}+1.
Derivando cada uma:
u'(t)=5\quad\text{(pois a derivada de \(5t\) é \(5\))},é
v'(t)=2t\quad\text{(pois a derivada de \(t^{2}\) é \(2t\) e de 1 é 0)}.éé
Agora aplicamos a regra do quociente:
S'(t)=\frac{u'(t)\,v(t)-u(t)\,v'(t)}{[v(t)]^{2}} =\frac{5\,(t^{2}+1)-5t\,(2t)}{(t^{2}+1)^{2}}.

Passo 4

Vamos simplificar o numerador passo a passo:
5\,(t^{2}+1)-5t\,(2t)=5t^{2}+5-10t^{2}.
Agora somamos os termos semelhantes no numerador:
5t^{2}+5-10t^{2}=5-5t^{2}=5(1-t^{2}).
Portanto a derivada simplificada é
S'(t)=\frac{5(1-t^{2})}{(t^{2}+1)^{2}}.
Essa é a expressão final para a taxa de variação das vendas em função de t.

Passo 5

Interpretação rápida antes de calcular valores: o sinal de S'(t)
  • se 1-t^{2}>0 (ou seja t<1), então S'(t)>0 — vendas crescendo;
  • se 1-t^{2}<0 (ou seja t>1), então S'(t)<0 — vendas caindo;
  • em t=1, S'(1)=0 — ponto de máximo (mudança de crescimento para queda). Isso bate com a intuição: as vendas crescem logo após o lançamento e depois diminuem.

Passo 6

Agora calculamos S'(0). Substituindo t=0 na fórmula:
S'(0)=\frac{5(1-0^{2})}{(0^{2}+1)^{2}}=\frac{5\cdot 1}{1^{2}}=5.
Interpretação: no instante do lançamento ( t=0) a taxa de variação é 5 milhões de dólares por ano — as vendas estão subindo rapidamente naquele instante.

Passo 7

Calculamos S'(2). Substituindo t=2:
S'(2)=\frac{5(1-2^{2})}{(2^{2}+1)^{2}}=\frac{5(1-4)}{(4+1)^{2}}=\frac{5(-3)}{5^{2}}=\frac{-15}{25}=-\frac{3}{5}.
Interpretação: em t=2 anos após o lançamento as vendas estão caindo a uma taxa de \tfrac{3}{5} milhões de dólares por ano (ou seja, -0,6 milhões por ano).

Passo 8

Comparando com as alternativas dadas:
  • A alternativa (a) apresenta exatamente
S'(t)=\frac{5(1-t^{2})}{(t^{2}+1)^{2}},\quad S'(0)=5,\quad S'(2)=-\frac{3}{5},
que coincide com os nossos cálculos. As outras alternativas trocam sinais ou erram o denominador ou o valor em t=0. Logo a alternativa correta é a (a).

Resposta

(a)

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