Questão 11 (0.5 ponto)
Seja
. Calcule
e encontre a solução de
.
(a)
; Soluções:
e
(b)
; Soluções:
e
(c)
; Soluções:
e
(d)
; Soluções:
e
(e) Nenhuma das anteriores
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Nenhuma das anteriores
Passo 1
O enunciado dá a função polinomial
e pede duas coisas:
- calcular a terceira derivada
; - resolver a equação
.
Informações relevantes: os coeficientes e expoentes de cada termo do polinômio são os dados que vamos derivar termo a termo.
Passo 2
Regra que vamos usar (explicação didática): a regra do poder (power rule) diz que, para um monômio
com
inteiro positivo, a derivada é
Aqui
é o expoente e
é a variável. Para um polinômio somamos as derivadas de cada termo. Também, constante tem derivada zero:
para constante
.
Passo 3
Aplicando a regra do poder prazo a prazo, computamos a primeira derivada
. Derivando cada termo:
-
, -
, -
, -
, -
.
Somando, obtemos
Passo 4
Agora derivamos
para obter
. Aplicando a regra do poder a cada termo de
:
-
, -
, -
, -
.
Portanto
Passo 5
Derivamos uma vez mais para obter
. Aplicando a regra do poder a cada termo de
:
-
, -
, -
.
Assim
Passo 6
Agora resolvemos a equação
, isto é
Para simplificar os cálculos, podemos dividir ambos os lados por
(porque
é fator comum dos coeficientes):
Isso facilita muito.
Passo 7
Resolvendo a equação quadrática
. Podemos tentar fatorar: procuramos fatores do tipo
com
e
, e tais que
. Uma fatoração que funciona é
pois multiplicando obtemos
.
Passo 8
Igualando cada fator a zero:
Passo 9
Conferindo: as raízes encontradas são
e
. O polinômio derivado e as soluções coincidem com a alternativa (a) do enunciado.
Resposta
(a)
; Soluções:
e