Questão 11 (0.5 ponto)

Seja f(x)=x^{5}-3 x^{4}+2 x^{3}-7 x+1. Calcule f^{(3)}(x) e encontre a solução de f^{(3)}(x)=0.
(a) f^{(3)}(x)=60 x^{2}-72 x+12; Soluções: x=\frac{1}{5} e x=1
(b) f^{(3)}(x)=20 x^{3}-36 x^{2}+12 x; Soluções: x=0 e x=2
(c) f^{(3)}(x)=120 x^{2}-144 x+12; Soluções: x=\frac{1}{2} e x=1
(d) f^{(3)}(x)=60 x^{2}-72 x; Soluções: x=0 e x=\frac{6}{5}
(e) Nenhuma das anteriores

Passo 1

O enunciado dá a função polinomial f(x)=x^{5}-3x^{4}+2x^{3}-7x+1 e pede duas coisas:
  1. calcular a terceira derivada f^{(3)}(x);
  2. resolver a equação f^{(3)}(x)=0.
    Informações relevantes: os coeficientes e expoentes de cada termo do polinômio são os dados que vamos derivar termo a termo.

Passo 2

Regra que vamos usar (explicação didática): a regra do poder (power rule) diz que, para um monômio \,x^{n}\, com n inteiro positivo, a derivada é
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Aqui n é o expoente e x é a variável. Para um polinômio somamos as derivadas de cada termo. Também, constante tem derivada zero: \frac{d}{dx}\text{(c)}=0 para constante c.

Passo 3

Aplicando a regra do poder prazo a prazo, computamos a primeira derivada f'(x). Derivando cada termo:
  • \frac{d}{dx}\bigl(x^{5}\bigr)=5x^{4},
  • \frac{d}{dx}\bigl(-3x^{4}\bigr)=-3\cdot4x^{3}=-12x^{3},
  • \frac{d}{dx}\bigl(2x^{3}\bigr)=2\cdot3x^{2}=6x^{2},
  • \frac{d}{dx}\bigl(-7x\bigr)=-7,
  • \frac{d}{dx}\bigl(1\bigr)=0.
Somando, obtemos
f'(x)=5x^{4}-12x^{3}+6x^{2}-7.

Passo 4

Agora derivamos f'(x) para obter f''(x). Aplicando a regra do poder a cada termo de f'(x):
  • \frac{d}{dx}\bigl(5x^{4}\bigr)=5\cdot4x^{3}=20x^{3},
  • \frac{d}{dx}\bigl(-12x^{3}\bigr)=-12\cdot3x^{2}=-36x^{2},
  • \frac{d}{dx}\bigl(6x^{2}\bigr)=6\cdot2x=12x,
  • \frac{d}{dx}(-7)=0.
Portanto
f''(x)=20x^{3}-36x^{2}+12x.

Passo 5

Derivamos uma vez mais para obter f^{(3)}(x). Aplicando a regra do poder a cada termo de f''(x):
  • \frac{d}{dx}\bigl(20x^{3}\bigr)=20\cdot3x^{2}=60x^{2},
  • \frac{d}{dx}\bigl(-36x^{2}\bigr)=-36\cdot2x=-72x,
  • \frac{d}{dx}\bigl(12x\bigr)=12.
Assim
f^{(3)}(x)=60x^{2}-72x+12.

Passo 6

Agora resolvemos a equação f^{(3)}(x)=0, isto é
60x^{2}-72x+12=0.
Para simplificar os cálculos, podemos dividir ambos os lados por \,12 (porque \,12 é fator comum dos coeficientes):
\frac{60x^{2}-72x+12}{12}=0 \quad\Longrightarrow\quad 5x^{2}-6x+1=0.
Isso facilita muito.

Passo 7

Resolvendo a equação quadrática 5x^{2}-6x+1=0. Podemos tentar fatorar: procuramos fatores do tipo (ax+b)(cx+d) com ac=5 e bd=1, e tais que ad+bc=-6. Uma fatoração que funciona é
5x^{2}-6x+1=(5x-1)(x-1),
pois multiplicando obtemos 5x^{2}-5x-x+1=5x^{2}-6x+1.

Passo 8

Igualando cada fator a zero:
5x-1=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{1}{5},
x-1=0 \quad\Longrightarrow\quad x=1.

Passo 9

Conferindo: as raízes encontradas são x=\frac{1}{5} e x=1. O polinômio derivado e as soluções coincidem com a alternativa (a) do enunciado.

Resposta

(a) f^{(3)}(x)=60x^{2}-72x+12; Soluções: x=\frac{1}{5} e x=1

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